Estructuras de los Conjuntos Numéricos.

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para todo a, b Î N0, si a ¹ b entonces a < b ó b < a.

Análogamente, si consideramos la relación de mayor (>), tendremos también un orden en N0, pues esta relación como la anterior goza de las mismas propiedades; solo que en este caso el orden es decreciente.

Es oportuno mencionar entonces que tomando uno de estos órdenes (por ejemplo el orden creciente), es posible representar, como hacíamos en la escuela secundaria, los números naturales sobre una semirrecta. Para ello tomamos arbitrariamente un segmento unidad que nos permite determinar puntos sucesivos sobre la semirrecta, a partir del origen. A estos puntos podemos asignarle en consecuencia los sucesivos números naturales a partir del 0 coincidente con el origen.

Una pregunta importante que podemos formularnos aquí, es la siguiente: ¿Cual es el número natural que sumado a b, nos da a? En símbolos:

Determinar x, tal que b + x = a para todo a, b perteneciente a N0 (1)

En este caso la respuesta no siempre existe, porque:

si b < a, será x = a - b

si b = a, será x = 0

si b > a, no hay solución para el problema planteado.

Es decir la ecuación planteada en (1) no tiene siempre solución, porque la resta solo es posible cuando el minuendo es mayor o igual que el sustraendo. Esto significa que entre los números naturales no existen los llamados números opuestos.

Del mismo modo para la multiplicación podemos formularnos una pregunta análoga.

¿Cuál es el número natural que multiplicado por b nos da a? Simbólicamente:

Para todo a, b Î N0, tiene solución la ecuación b . x = a ?

si a es múltiplo de b, entonces la ecuación

b . x = a, nos permite encontrar el valor de x = a : b

si a = 0, la ecuación también tiene solución en N0, dado que x = 0

si a no es múltiplo de b, entonces la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números naturales, dado que la división exacta no existe en estos casos. Es decir en el conjunto de los números naturales no hay inversos, para todos sus elementos.

Consideremos ahora simultáneamente las operaciones de suma y producto; es posible vincularlas con una propiedad ya conocida:

pp. distributiva del producto respecto de la suma: Para todo x, y, z Î N0, será

x . (y + z) = x . y + x . z es decir, el producto es distributivo respecto de la suma.

Y finalmente existe compatibilidad entre la relación de orden (< ó >) con la suma y con el producto. ¿Qué queremos significar con esto?. Lo siguiente:

Si x < y, para todo z Î N0, x + z < y + z,

y para todo z > 0 Î N0, x . z < y . z

Estas son las propiedades más importantes del conjunto de números naturales. Para resolver los problemas de la diferencia y el cociente, necesitamos ampliar este conjunto numérico.

NUMEROS ENTEROS, PRIMERA AMPLIACION DEL CONJUNTO NUMERICO.

Consideremos ahora el producto cartesiano de N0 x N0 , tendremos así un conjunto de pares ordenados: (0; 1), ... (1; 1), (1; 2), ... (2; 1), (2; 2), (2; 3), ... (a; b), ... (x; y), ...

Definimos en este conjunto la siguiente relación:

(a; b) ~ (c; d) Û a + d = b + c

Veamos sus propiedades:

es reflexiva: (a; b) ~ (a; b) puesto que a + b = b + a

es simétrica: (a; b) ~ (c; d) Û a + d = b + c Þ c + b = d + a Û (c; d) ~ (a; b)

es transitiva: (a; b) ~ (c; d) Û a + d = b + c

y (c; d) ~ (e; f) Û c + f = d + e sumando resulta:

a + d + c + f = b + c + d + e y simplificando

a + f = b + e Û (a; b) ~ (e; f)

Hemos definido en consecuencia una relación de equivalencia en N0 x N0. Ella determina en el producto cartesiano una partición en clases de equivalencia, de modo tal que en cada clase encontraremos todos los pares equivalentes con uno dado.

A este nuevo conjunto lo llamamos Números Enteros y lo representaremos con Z.

Cada clase tiene los siguientes elementos:

C0,3 = {(0; 3), (1; 4), (2; 5), (3; 6), ...}

C0,2 = {(0; 2), (1; 3), (2; 4), (3; 5), ...}

C0,1 = {(0; 1), (1; 2), (2; 3), (3; 4), ...}

C0,0 = {(0; 0), (1; 1), (2; 2), (3; 3), ...}

C1,0 = {(1; 0), (2; 1), (3; 2), (4; 3), ...}

C2,0 = {(2; 0), (3; 1), (4; 2), (5; 3), ...}

C3,0 = {(3; 0), (4; 1), (5; 2), (6; 3), ...}

C4,0 = {(4; 0), (5; 1), (6; 2), (7; 3), ...}

etc.; los puntos suspensivos significan en todos los casos que existen otros elementos como los indicados.

Como los pares ordenados de cada clase son equivalentes, podemos tomar como representantes de cada clase al primer par de las mismas, en cuyo caso tendremos:

Z = {..., (0; 3), (0; 2), (0; 1), (0; 0), (1; 0), (2; 0), (3; 0), (4; 0), ...}

Definamos ahora en este nuevo conjunto las siguientes operaciones:

Suma o adición. Sean (a, b) y (c, d) dos números enteros pertenecientes a dos clases cualquiera de las mencionadas antes. Su Suma será un nuevo par determinado de la siguiente manera:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

En esta definición hemos tomado un par de representantes de dos clases dadas y obtuvimos un par de una nueva clase. ¿ Si cambiamos los representantes, el resultado será equivalente con el resultado