Unidad IV CONTEO Y PROBABILIDADES.

...

Solución

[pic 55] maneras

O también:

[pic 56] maneras

EJEMPLO 3

¿De cuántas maneras diferentes el director de un laboratorio de investigación puede seleccionar a dos químicos entre siete candidatos y a tres físicos entre nueve candidatos?

Solución

Los dos químicos pueden seleccionarse de [pic 57] maneras y los tres físicos de [pic 58] maneras.

Por efecto de la regla de la multiplicación, la selección total puede realizarse de [pic 59]maneras.

- MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES

Si los conjuntos [pic 60] contienen, respectivamente, [pic 61] elementos, entonces existen:

[pic 62]

Maneras de elegir primero un elemento de [pic 63] después un elemento de [pic 64] y finalmente un elemento de [pic 65].

En nuestro ejemplo teníamos [pic 66], [pic 67] y [pic 68], y por lo tanto [pic 69] posibilidades.

EJEMPLO 1

¿De cuántas maneras diferentes una sección sindical con 25 miembros puede elegir un presidente y un vicepresidente?

Solución

Puesto que el vicepresidente puede ser elegido de 25 maneras y, subsecuentemente, el presidente de 24, existen en total [pic 70] maneras en las que puede tomarse la decisión completa.

EJEMPLO 2

Si una prueba se compone de 12 preguntas de Verdadero - Falso, ¿De cuántas maneras diferentes un estudiante puede marcar el papel con una respuesta para cada pregunta?

Solución

Dado que cada pregunta puede contestarse de dos maneras, existen en total

[pic 71] Posibilidades

EJEMPLO 3

Un fabricante desea obtener la respuesta de resistencia a altas tensiones entre tres máquinas localizadas en la planta de producción. Al mismo tiempo, hay cuatro posibles técnicos: Tomás, José, Enrique y Carolina quienes operan al menos una de las máquinas.

- ¿Cuántas mediciones deben incluirse en un experimento planeado en el que cada operador pruebe todas las máquinas?

- Si se requiere que en cada prueba se realicen a su vez ocho mediciones en cada máquina; ¿Cuántas mediciones se realizaran en total?

Solución

- Hay [pic 72] operadores y [pic 73] máquinas; por lo tanto, se realizaran [pic 74] pruebas.

- Son [pic 75] mediciones en cada prueba, luego son [pic 76] mediciones en total.

- PROBABILIDAD

Hasta aquí sólo hemos estudiado cuales son los resultados de una situación dada; ahora analizaremos qué es probable y qué es improbable. Históricamente, el método más antiguo para la medición de incertidumbres es el concepto clásico de probabilidad, desarrollo originalmente en relación con los juegos de azar. Se aplica cuando todos los resultados posibles son igualmente probables, en cuyo caso decimos que:

Si existen n posibilidades igualmente probables, una de las cuales debe ocurrir y s considerarse como favorables, o como un “éxito”, entonces la probabilidad de un “éxito” está dada por: [pic 77]

En la aplicación de esta regla, los términos “favorable” y “éxito” se emplean en sentido más bien amplio; “favorable” puede significar que un televisor no funciona y “éxito” puede significar que alguien se contagie de gripe.

EJEMPLO 1

¿Qué probabilidad hay de extraer un as de un monte debidamente barajado de 52 naipes?

Solución

Hay [pic 78] ases entre los [pic 79] naipes, de los que obtenemos

[pic 80]

EJEMPLO 2

Si 3 de 20 neumáticos almacenados son defectuosos y se seleccionan aleatoriamente para su inspección 4 de ellos (o sea, que cada neumático tiene la misma oportunidad de ser elegido), ¿Cuál es la probabilidad de que en la inspección se encuentre un neumático defectuoso?

Solución

Existen [pic 81] maneras igualmente probables de seleccionar 4 de los 20 neumáticos, de modo que [pic 82]. El número de resultados favorables es el número de maneras en que pueden seleccionarse uno de los neumáticos defectuosos y tres de los neumáticos no defectuosos, o [pic 83]

De ello se desprende que la probabilidad es de

[pic 84]

Una de las principales deficiencias del concepto clásico de probabilidad es su limitada aplicabilidad, ya existen muchas situaciones en las que resultan imposible considerar igualmente probables todas las diversas posibilidades. Tal sería el caso, por ejemplo, si analizáramos si lloverá mañana, si el lanzamiento de un proyectil será un éxito, si un motor recientemente diseñado funcionará durante al menos 1000 horas.

Entre los diversos conceptos de probabilidad, el más ampliamente apoyado es la interpretación de frecuencias. De acuerdo a ello estimamos la probabilidad de un evento observando en qué fracción de veces eventos similares han ocurrido en el pasado.

- AXIOMAS DE LA PROBABILIDAD

Dados un espacio muestral finito S y un evento A en S, definimos P(A), la probabilidad de A, con los siguientes axiomas:

Axioma 1: [pic 85] para cada evento A en S.

Axioma 2: [pic 86]

Axioma 3: Si A y B son cualesquiera eventos mutuamente excluyentes en S, entonces [pic 87]

Teorema 1:

Si A1, A2, ……. An, son eventos mutuamente excluyentes en un espacio muestral S entonces: