Ejercicios Tensor de Tensiones

Ejercicio - Dado el tensor de tensiones (en MPa)

[pic 2]

a.- Determinar los planos en los cuales las tensiones tangenciales son nulas (planos principales).

b.- Hallar asimismo el valor de las tensiones normales en dichos planos (tensiones principales).

Partimos de la matriz de tensiones y podemos empezar planteando un rectángulo elemental en el que se indican los valores de las tensiones en función de los ejes. Recordemos que las “caras no vistas” tienen valores de tensión opuestos a los indicados.

[pic 3]

Para buscar los planos principales tenemos que diagonalizar la matriz:

[pic 4]

Buscamos la ecuación característica:

[pic 5]

Resolviendo la ecuación llegamos a que:

[pic 6]

Como la matriz del tensor de tensiones es diagonalizable, podemos expresar el tensor de tensiones como:

[pic 7]

Y ahora buscamos las direcciones principales, que se corresponden con los autovectores asociados a cada uno de estos autovalores:

[pic 8]

[pic 9]

De modo que con la información de los ángulos y de las tensiones principales, el rectángulo con los planos y tensiones principales nos queda (el giro de los ángulos es en sentido reloj):

[pic 10]

Ejercicio - Determinar las tensiones principales sabiendo que el tensor de tensiones viene definido por:

[pic 11]

Para calcular las tensiones principales empezamos diagonalizando la matriz de tensiones:

[pic 12]

Buscamos la ecuación característica:

[pic 13]

Si comparamos esta expresión con la general: [pic 14]

Para resolver las tensiones principales tenemos que recurrir a una calculadora que nos haga la cúbica, ya que no es posible el cálculo reduciendo un grado por Ruffini:

[pic 15]

Ejercicio - En un problema bidimensional, el punto elástico de la figura se encuentra sometido al estado tensional que se indica. Se pide:

a.- Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x,y

b.- Expresión del tensor de tensiones bidimensional referido a los ejes x’,y’. El eje x’ forma un ángulo de 35º, en sentido antihorario, con el eje x.

[pic 16]

a.- La primera cuestión es plantear la matriz tensor de tensiones a partir de la información del gráfico adjunto:

[pic 17]

b.- En segundo lugar, nos piden cambiar el sistema de referencia, de manera que el eje x’ se desvía 35º en sentido horario respecto al eje x original. De este modo nos queda que:

[pic 18]

Busquemos la matriz de paso . Recuerda que la matriz  es la que permite pasar un vector expresado en las coordenadas nuevas (*) a las coordenadas antiguas. [pic 19][pic 20]

[pic 21]

Mientras que la traspuesta de esta matriz (que es lo mismo que decir la inversa, ya que la matriz de paso es ortogonal) es la que permite el paso de las coordenadas antiguas a las nuevas (*).

[pic 22]

¿Cómo llegamos a la matriz? Pues el enunciado nos dice que la relación entre los sistemas de referencia es:

[pic 23]

Pero como vamos a calcular  que nos da la relación:[pic 24]

[pic 25]

Vamos a plantear el dibujo como:

[pic 26]

Es fácil ver entonces que:

[pic 27]

[pic 28]

Con lo que la matriz de paso nos queda:

[pic 29]

Ahora podemos buscar la matriz de tensiones en el nuevo sistema de referencia:

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Ejercicio - En un medio continuo se conoce el tensor de tensiones en un punto, cuyas componentes cartesianas son:

[pic 35]

a.- Obtener las tensiones principales [pic 36]

b.- Obtener los invariantes de las tensiones [pic 37]