Modelos y simulación de eventos discretos y variables aletorias

MODELOS Y SIMULACIÓN

Tarea 2

Grupo 206

Javier Andres Tarazona Esteban Lopez Barreto

David Alfonso Canas Palomino Juan Sebastian Sarmiento Pulido

Profesor

Luis Gerardo Astaiza Amado

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11 de Septiembre de 2023 2023-II

1. Instrucciones generales.

1. Para los ejercicios de Generación de variables aleatorias:

1. Definir el marco teórico del método aplicado
2. Desarrollar el algoritmo para el caso planteado
3. Elaborar gráficas de la función de densidad utilizando los números aleatorios generados

1. Para cada ejercicio asignado utilizando el enfoque por eventos de SED con la ayuda del paquete SIMLIB y proceda así:

1. definir:

1. Parámetros de entrada
2. Variables del modelamiento
3. Descripción del evento y tipo de evento
4. Listas y sus atributos
5. Contadores y/o acumuladores
6. Medidas de desempeño
7. Subprogramas y propósito

1. Elaborar el diagrama de flujo del programa principal y de cada subprograma que conforma el modelo y desarrollar el simulador en lenguaje de alto nivel en lenguaje C, Java o Python con la ayuda del paquete SIMLIB y en el ambiente de desarrollo CODEBLOCKS O ANACONDA.
2. Analizar los resultados.
3. Plantear alguna modificación que a su juicio mejore el desempeño del sistema y sustentar utilizando el simulador desarrollado.

1. Elaborar informe completamente organizado en un documento Word y en la portada presentar Asignatura, identificador del grupo e integrantes que participaron activamente en el desarrollo en una carpeta identificada por el grupo asignado al equipo de trabajo. El identificador del trabajo será: ModSim_XYY_T2_2023_02, donde X es el grupo del curso (2 o 3) y YY el identificador asignado para el grupo de trabajo.

El informe debe presentar lo solicitado en los literales A. B. La entrega estará conformada por dos archivos: el informe y las carpetas de los códigos fuentes de los problemas y enviarse a: pdsistemico@gmail.com y jorrodriguezco@unal.edu.co

1. Generación de variables aleatorias

1. Generar por el método de la transformada inversa, números al azar que sigan las siguientes distribuciones de probabilidad

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1. Marco Teórico:

Antes de entrar en el tema de generación de variables aleatorias, se debe hablar de conceptos básicos de las distribuciones de probabilidad.

CPF (Función de Probabilidad Acumulada)

Representa la probabilidad de que una variable aleatoria 𝑿 tome un valor menor o igual a 𝑥. Matemáticamente, se define como:

La CPF es una función monótona no decreciente y se usa para describir la distribución de variables aleatorias. Para variables aleatorias continuas, la derivada de la CPF es la Función de Densidad de Probabilidad (FDP).

PDF (Función de Densidad de Probabilidad)

Para una variable aleatoria continua 𝑿, la FDP 𝑓(𝑥) da la densidad de la distribución en el punto 𝑥. Es una función que describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor en un rango particular. La FDP se integra a 1 en su dominio y se relaciona con la CPF como:

Para variables aleatorias discretas, el concepto análogo es la Función de Masa de Probabilidad (FMP).

Luego de conocer estos conceptos básicos, se habla del primer método de generación de números aleatorios.

El método de la transformación inversa es una técnica para la generación de números aleatorios de una distribución de probabilidad continua, siempre y cuando se conozca su función de densidad (PDF). Esta técnica es una de las más usadas y generalmente aplicable

para la generación de números aleatorios, pero puede ser complicado calcular alguna de las expresiones analíticas presentadas en el proceso.

Así pues, como se mencionó anteriormente, se debe pensar en una función de densidad de la distribución deseada. En este caso se tomará la siguiente función.

[pic 3]

Ahora bien, al integrar esta función de densidad hasta cierto valor, se encuentra el área bajo la curva hasta cierto valor, con lo cual tendremos la probabilidad acumulada hasta este cierto punto, es decir, se obtiene la función acumulada de probabilidad (CDF).[pic 4]

𝑡

∫        𝑓(𝑥)𝑑𝑥

0

[pic 5]

Sabiendo esto, el método de la transformada inversa hace uso de la función de probabilidad acumulada inversa, donde se recibe una probabilidad acumulada para devolver la variable que acumula esta probabilidad.

Así pues generando un número pseudoaleatorio entre 0 y 1, lo que se hace es “disparar” a un valor pseudoaleatorio en la función acumulada con el fin de encontrar un valor de la variable aleatoria.

En conclusión, en el método de la transformada inversa se deben seguir los siguientes pasos.

1. Generar un número aleatorio entre 0 y 1, a partir de una distribución uniforme.
2. Hallar la función de probabilidad acumulada, 𝐹(𝑥) (Rango de la función es el intervalo entre 0 y 1).
3. Hallar la inversa de la función de probabilidad acumulada, 𝐹−1(𝑥) (Dominio de la función es el intervalo entre 0 y 1).
4. Calcular el valor de la inversa de la función acumulada de probabilidad 𝐹−1(𝑢) .

1. Algoritmos:

Los cálculos y el desarrollo de todos estos ejercicios están anexados en un archivo pdf. Así mismo, estos se encuentran implementados en un Notebook de Google Colab (Python) al cual puede acceder mediante el siguiente enlace: https://colab.research.google.com/drive/17SjlOgl7fLJbHZ7jWgbhTTwQb-Ad- NM6?usp=sharing