Algebra

Introducción

Para comprender, aprender y desarrollar las matemáticas, es necesario conocer su idioma., el cual se utiliza para simplificar el intercambio de ideas complejas a través de un lenguaje que es mundialmente aceptado como forma de comunicación a través de símbolos para emplear cálculos. Para poder iniciar a comprender este lenguaje debemos entender su composición, iniciando con los siguientes términos fundamentales:

Conjuntos: Colección de elementos que en base a un criterio define los objetos que contendrá y por lo tanto los que no serán considerados. Se utiliza el símbolo € para expresar si un elemento pertenece a un conjunto, cuando un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza €.

Conjunto vacío: Es un conjunto que carece de elementos. Se representa por el símbolo Ø.

Conjunto Universal: Se utiliza como marco de referencia para realizar operaciones entre conjuntos. Se representa con la letra U.

Conjuntos finitos: Se considera cuando se tiene un número entero positivo de elementos. Cuando no puedes determinar el número de elementos que lo conforman se denomina como conjunto infinito.

Una vez que entendemos que representa un conjunto universal podemos comprender los subconjuntos, los cuales representan a un conjunto de elementos que tienen las mismas características y por lo tanto están incluidos dentro de un conjunto más amplio. Para expresar un subconjunto se utiliza , por ejemplo: Si queremos expresar que A es un subconjunto de B, se expresa del siguiente modo: A B.

También se presenta el caso cuando todos los elementos de determinados conjuntos coinciden, se conoce como Igualdad de conjuntos. Esto se expresa con el símbolo =. Por ejemplo: A = B, lo que quiere decir que A contiene exactamente los mismos elementos que B.

Para representar gráficamente los conjuntos se utilizan los diagramas de VENN. Estos diagramas fueron inventados por el Inglés John Venn (1834 – 1923). Estos diagramas son principalmente empleados para realizar la representación grafica de las operaciones entre conjuntos como:

Unión, conjunto de todos los elementos de dos o más conjuntos. Se expresa con el símbolo:∪.

Por ejemplo: A B = {x│x∈A o x ∈B}, podemos representar la unión A ∪ B, por el siguiente diagrama de Venn:

Intersección: El conjunto de los elementos que están en A y también en B. Se expresa con el símbolo ∩.

Por ejemplo: A B = {x│x∈A o x ∈B}, podemos representar la unión A ∪ B, por el siguiente diagrama de Venn:

Complemento de conjuntos: es otro conjunto que contiene todos los elementos que no están en el conjunto original. Para poder definirlo es necesario especificar el conjunto universal. Por ejemplo: Si A es un subconjunto de S, entonces A’ es el complemento de A en S, el conjunto de los elementos de S que no están en A.

Podemos representar por el siguiente diagrama de Venn:

Cardinalidad de un conjunto: Es el número de elementos que posee ese conjunto. Para representarlo utilizamos por ejemplo: n (A), se llama cardinalidad de A.

Como conclusión, estos elementos representan la constitución de la teoría de conjuntos y son puntos fundamentales para comprender el lenguaje matemático, relacionándolo con actividades cotidianas.

Referencias:

Dirección de Diseño e Innovación Curricular. (Productor). (2016) Introducción al Álgebra [Vídeo]. De Universidad del Valle de México. Recuperado de: https://uvmonline.blackboard.com/bbcswebdav/pid-3142461-dt-content-rid-26886350_1/courses/5K2540-53XO10E1703/TUTORIALES/U1_Introduccion_Algebra.mp4

Sánchez, H. R. (2000). Álgebra. México: Larousse-Grupo Editorial Patria. Recuperado de http://site.ebrary.com/lib/vallemexicosp/reader.action?docID=11046169

Páginas 4 a 37.

Rees, P. (2011). Álgebra contemporánea. México: McGraw-Hill Interamericana. Recuperado de: http://site.ebrary.com/lib/vallemexicosp/reader.action?docID=10467145

Páginas 1 a 8.

Ejercicios:

1.- Demuestre la equivalencia de las parejas de proposiciones:

(P → Q) = (┐Q→ ┐P)

P Q P → Q ┐Q ┐P ┐Q→ ┐P

V V V V V F F F V F

V F V F F V F V F F

F V F V V F V F V F

F F F V F V V V V V

P → Q = ┐P v Q

P Q P → Q ┐P ┐P v Q

V V V V V F F V V

V F V F F F F F F

F V F V V V V V V

F F F V F V V V F

┐

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