Las matrices y los determinantes son herramientas del algebra que facilitan el ordenamiento de datos

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Matriz simétrica, que es aquella para la que se cumple que At = A, por ejemplo la matriz:

[pic 24]

Es simétrica .En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.

Producto de matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B, es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación. Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observemos que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C=A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

Veámoslo mediante un ejemplo:

Para multiplicar las matrices:

[pic 25]

Primero comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4, y el resultado, según lo dicho ser a una matriz de tamaño 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:

[pic 26]

Solo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

[pic 27]

El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

[pic 28]

El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

[pic 29]

Así sucesivamente se obtienen (comprueba):

[pic 30]

Propiedades del producto de matrices

a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C

b) Distributiva respecto de la suma:

[pic 31]

c) Elemento neutro, la matriz identidad correspondiente, si A es m x n:

[pic 32]

d) En general el producto de matrices no es conmutativo

[pic 33]

Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Esta es una propiedad muy importante.

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

[pic 34]

Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

La matriz inversa

Sabemos ya multiplicar matrices y hemos visto algunas de las propiedades de esta operación.

Recordemos, en primer lugar, que no siempre es posible efectuar la multiplicación de dos matrices, y en segundo lugar, que aunque sea posible hacer esta multiplicación, en general no es conmutativo, es decir A·B es distinto de B·A.

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·ByB·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In. Por analogía con el caso de los números reales, podemos plantearnos la siguiente cuestión:

Si tenemos un número real, por ejemplo el 2, podemos interesarnos en buscar el inverso del 2 para el producto, es decir un número real x tal que 2·x = 1, el producto de 2 por x sea igual al elemento neutro, el 1.

Evidentemente, en el caso de los números reales es bien fácil despejar x para obtener, en nuestro caso, que [pic 35]es decir, el inverso de un número real es otro número que multiplicado por el da el elemento neutro, el 1.

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que

[pic 36]

Es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In. Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

- No podemos “despejar” la matriz X del modo [pic 37]porque no hemos definido la división de matrices.

- No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Definamos, en primer lugar, el término de matriz inversa:

Dada una matriz cuadrada de orden n, A, se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular), si existe otra matriz del mismo orden, denominada matriz inversa de A y representada por A−1 y tal que:

[pic 38]

Y

[pic 39]

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa