GUÍA DE APOYO AL APRENDIZAJE N°8 PROBABILIDAD CONDICIONAL

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Para cualquier [pic 49], la probabilidad total de [pic 50], es la suma de todos los “n” posibles caminos (mutuamente excluyentes) que conducen al evento [pic 51].

[pic 52]

Ejemplo: Se realiza una encuesta de opinión, con respecto al tenis nacional, algunos resultados son los siguientes:

- El 43% prefiere a Fernando “Bombardero de la Reina” González, de los cuales 80% son mujeres.

- El 25% prefiere a Marcelo “Chino” Ríos, 75% hombres.

- El resto a Nicolás “Vampiro” Massú, sólo 39% de hombres.

Dibuje el diagrama de árbol.

Solución:

Sean los sucesos: B1 = {el encuestado prefiere a Fernando González}

B2 = {el encuestado prefiere a Marcelo Ríos}

B3 = {el encuestado prefiere a Nicolás Massú}

A = {el encuestado es hombre}

Sabemos que: [pic 53] ; [pic 54] ; [pic 55]

[pic 56] ; [pic 57] ; [pic 58]

Por lo tanto, el diagrama de árbol, sería:

[pic 59]

TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL

Este teorema o regla de Probabilidad Total nos indica cómo calcular la probabilidad de un evento A cuando conocemos las probabilidades condicionales [pic 60] en donde los [pic 61] forman una partición del espacio muestral.

Sean B1, B2, B3,…………..Bn sucesos asociados a un experimento “E” tales que se cumpla:

i) [pic 62]

ii) [pic 63]

Sea A otro suceso asociado a “E”, entonces el teorema de Probabilidad Total, sería:

[pic 64]

TEOREMA DE BAYES

El teorema o regla de Bayes es una técnica que nos permite obtener la probabilidad condicional de un evento cuando mediante el efecto tratamos de determinar la probabilidad de la causa.

El teorema de Bayes trata de responder interrogantes tales como: Si el evento A ocurrió, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido generado por el evento [pic 65]?, ¿cuál por [pic 66]?, etc.

Para el teorema de Bayes, utilizaremos la siguiente fórmula:

[pic 67]; con [pic 68][pic 69]

Ejemplos:

1) En una fábrica hay 2 máquinas que producen cierto artículo, se sabe que la máquina 1 produce el 60% de los artículos y la máquina 2 el 40%. Por observaciones se sabe que la máquina 1 produce 1% de sus artículos con algún defecto y la máquina 2 el 3%. Se elige un artículo al azar, determine:

- ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?

- Si el artículo es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad que provenga de la máquina 1?

Solución:

Sean los sucesos: B1 = {el artículo es producido por la máquina 1}

B2 = {el artículo es producido por la máquina 2}

A = {el artículo es defectuoso}

Sabemos que: [pic 70] ; [pic 71] ; [pic 72] ; [pic 73]

- [pic 74]

[pic 75]

Por lo tanto, hay un 1,8% de probabilidad de que el artículo sea defectuoso.

- [pic 76] [pic 77] [pic 78]

Por lo tanto, hay aprox. un 33,3% de probabilidad de que el artículo provenga de la máquina 1, sabiendo que es defectuoso.

2) En un casino hay 2 máquinas tragamonedas. La máquina 1 paga 3 veces cada 10 jugadas, mientras que la máquina 2 paga 5 veces cada 10 jugadas. Una persona juega en una de las máquinas al azar, determine:

- ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

- Si la persona gano. ¿Cuál es la probabilidad que sea la máquina 2?

Solución:

Sean los sucesos: B1 = {se juega en la máquina 1}

B2 = {se juega en la máquina 2}

A = {se gana}

Sabemos que: [pic 79] ; [pic 80] ; [pic 81] ; [pic 82]

- [pic 83]

[pic 84]

Por lo tanto, hay un 40% de probabilidad de ganar.

- [pic 85] [pic 86] [pic 87]

Por lo tanto, hay un 62,5% de probabilidad de jugar en la máquina 2, sabiendo que gano.

3) En una oficina hay 3 computadoras, se sabe que el computador 1 se usa el 20% de las veces, el computador 2 el 35% y el computador 3 el 45%. La experiencia indica que el computador 1 se equivoca el 2% de las veces que ha sido utilizado. Esto mismo ocurre con el 5% para el computador 2 y con el 10% para el 3. Una persona utiliza un computador al azar, determine:

- ¿Cuál es la probabilidad de que se equivoque?

- Si este se equivoca. ¿Cuál es la probabilidad de que se equivoque el computador 3?

Solución:

Sean los sucesos: B1 = {el computador 1 se equivoca}

B2 = {el computador 2 se equivoca}

B3 = {el computador 3 se equivoca}

A = {el computador se equivoca}

Sabemos que: [pic 88] ; [pic 89] ; [pic 90]

[pic 91] ; [pic 92] ; [pic 93]

- [pic 94]

[pic 95]

Por lo