Operaciones con Monomios y Polinomios

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Si hay paréntesis, primero se deben eliminar antes de hacer la operación de suma o resta.

Si el paréntesis esta precedido del signo menos, al quitar el paréntesis cambia de signo todo lo que esta dentro del paréntesis.

Ejemplo:

– (7xy + 2 ab) + (4 xy – 3 ab + 5 x2y)

Se quitan los paréntesis: – 7 xy – 2 ab + 4 xy – 3 ab + 5 x2y.

Observe que sólo cambian de signos los dos primeros monomios, pues estaban dentro de un paréntesis precedido con el signo menos.

Ahora, organicemos los monomios semejantes:

– 7 xy + 4 xy – 2 ab – 3 ab + 5 x2y, son semejantes los dos primeros y los dos siguientes, el último no tiene términos semejantes, luego el resultado es el siguiente:

– 3 xy – 5 ab + 5 x2y

Si el paréntesis esta precedido por un factor, entonces primero se debe multiplicar el factor por todos los elementos que están dentro del paréntesis, hay que tener en cuenta la Ley de los Signos.

Ejemplo:

3 (x + 2) – 5 (2x – y) = 3x + 6 – 10x + 5y = 5y – 7x + 6

- Multiplicación y división de monomios

Para multiplicar o dividir los monomios se multiplican o dividen los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, debe tenerse en cuenta la Ley de los Signos.

Ejemplos:[pic 4]

- 6x2y3 2 xy = - 12 x3y4 - 6x2y3 2 xy = - 3 xy2 [pic 5]

- Multiplicar un monomio por un polinomio

Hay que multiplicar el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

3 xy2 (2x + 5y - 8) = 6 x2y2 + 15 xy3 – 24 xy2

- Dividir un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio se debe dividir cada término del polinomio entre el monomio.

Ejemplo:[pic 6]

(2 x2y + 6 x3 – 12 x) 2x 2 x2y + 6 x3 – 12 x xy + 3 x2 – 6[pic 7][pic 8]

2x 2x 2x

Operaciones con polinomios

Las operaciones de suma y resta de polinomios pueden ser realizadas a partir de los mismos procedimientos descritos anteriormente en las operaciones de suma y resta con monomios, ya que es necesario primero eliminar los paréntesis, agrupar los términos semejantes y realizar las operaciones.

Ejemplo de suma y resta de polinomios:

(7xy + 2 ab) + (4 xy – 3 ab + 5 x2y) – (xy + 5 ab)

= 7xy + 2 ab + 4 xy – 3 ab + 5 x2y – xy – 5 ab

= 7xy + 4 xy – xy + 2 ab – 3 ab – 5 ab + 5 x2y

= 10 xy – 6ab + 5 x2y

La multiplicación de polinomios se realiza haciendo una multiplicación de cada término de un polinomio por todos los términos del otro polinomio, dicha multiplicación ya fue descrita anteriormente bajo el título multiplicar un monomio por un polinomio.

Ejemplo del multiplicación de polinomios:

(3xy + 5a) (2x + 3) = 6x2y + 9 xy + 10ax + 15a

- Dividir un polinomio por otro polinomio

Veremos el procedimiento a través de un ejemplo, sea la división de:

(10x4 – 6 x2 – 4x4 + 3x2 + 5) (5x + 3 – 4x) [pic 9]

La división de polinomios se realiza siguiendo los pasos siguientes:

- Se reducen términos semejantes tanto para el dividendo como para el divisor.

Dividendo:

10x4 – 6 x2 – 4x4 + 3x2 + 5 = 10x4 – 4x4 – 6 x2 + 3x2 + 5

= 6x4 – 3x2 + 5

Divisor:

5x + 3 – 4x = x + 3

- Se ordenan los términos del dividendo y del divisor, según sus grados, de mayor a menor, en el dividendo se completa con CERO los términos que no existan.

En nuestro ejemplo sólo es necesario para el dividendo, pues el divisor ya esta ordenado y posee todos los términos.

Dividendo:

6x4 – 3x2 + 5 = 6x4 + 0x3 – 3x2 + 0x + 5

- Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y el resultado forma parte del cociente.

Se divide 6x4 entre x resultando 6x3

- Se multiplica el término del cociente (que se acaba de hallar en el paso anterior) por cada uno de los términos del divisor.

Se multiplica 6x3 por (x + 3) resultando 6x4 + 18x3

- El resultado de la multiplicación anteriores se pone debajo del dividendo correspondiente y al ponerlo se cambia de signo.

Dividendo: 6x4 + 0x3 – 3x2 + 0x + 5

Resultado de la multiplicación: – 6x4 – 18x3

(con el signo cambiado)

- Se suma algebraicamente, el dividendo con el resultado que esta debajo de él y que surgió por la realización del paso anterior.

Dividendo: 6x4 + 0x3 – 3x2 + 0x + 5

Resultado de la multiplicación: – 6x4 – 18x3

Suma algebraica: 0 – 18x3

- Se bajan los términos restantes del dividendo.

– 18x3 – 3x2 + 0x + 5

- Se repiten los pasos del 3 al 7. El proceso