EL PRIMER CASO DE FACTORES SE DIVIDE EN DOS PARTES QUE SON: FACTOR COMÚN MONOMIO Y FACTOR COMÚN POLINOMIO

...

TRINOMIO DE LA FORMA AX2+BX+C

Condiciones que debe cumplir un trinomio de la forma ax2+bx+c:

El primer término tiene un coeficiente mayor que 1 y tiene una letra cualquiera elevada al cuadrado.

El segundo término tiene la misma letra que el primero pero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera positiva o negativa.

El tercer término es una cantidad cualquiera positiva o negativa sin ninguna letra en común con el 1 y 2 términos.

Ejemplo 1 :

6x2 -7x -3

1) Se multiplica el coeficiente del primer término” 6” por todo el trinomio, dejando el producto del 2 término indicado:

6(6x2 -7x +3) =36x2 -6(7x) -18

2) Se ordena tomando en cuenta que 36x2 = (6x)2 y 6(-7x) = -7(6x), escribiéndolo de la siguiente manera: (6x) 2 -7(6x) -18

3) Luego se procede a factorar (6x) 2 -7(6x) -18 como un problema del Caso VI. Con una variante que se explica en el Inciso 6°

4) Se forman 2 factores binomios con la raíz cuadrada del primer término del trinomio: (6x- )(6x+ )

5) Se buscan dos números cuya diferencia sea -7 y cuyo producto sea -18 esos números son -9 y +2 porque: -9 +2 = -7 y (-9) (2) = -18= (6x-9)(6x+2)

6) Aquí está la variante: Como al principio multiplicamos el trinomio por “6″, entonces ahora los factores binomios encontrados, los dividimos entre”6″

(6x-9)(6x+2) / 6; como ninguno de los binomios es divisible entre “6″ entonces descomponemos el “6″ en dos factores (3y2), de manera que uno divida a un factor binomio y el segundo divida al otro. Así: (6x-9) / 3 y (6x+2) / 2, y estos cocientes quedarían así:(2x-3) (3x+1)

CASOS ESPECIALES

EJEMPLO 1 :

20x^2 +7x -6 = (4x+3) (5x-2)

3x² + 8x – 35 = (3x - 7) (x + 5)

8. 9a² + 9ab - 18b² = (a + 2b) (a - b)

9. 4x² +17x -15 = (4x - 3) (x + 5)

10. 15x² + x - 2 = (5x + 2) (3x - 1)

CASO 8

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Debemos tener en cuenta que los productos notables nos dicen que:

(a+b)3 = a2 +3a 2 b+3 a b 2 +b3 y (a-b)3 = a2-3a 2 b+3ab 2 - b3

La fórmula de arriba nos dice que para una expresión algebraica ordenada con respecto a una parte literal sea el cubo de un binomio, tiene que cumplir lo siguiente:

1. Tener cuatro términos.

2. Que el primer término y el último sean cubos perfectos.

3. Que el segundo término sea más o menos el triplo de la primera raíz cúbica elevada al cuadrado que multiplica la raíz cúbica del último término.

4. Que el tercer término sea el triplo de la primera raíz cúbica por la raíz cubica del último término elevada al cuadrado

Si todos los términos de la expresión algebraica son positivos, la respuesta de la expresión dada será la suma de sus raíces cúbicas de su primer y último término, y si los términos son positivos y negativos la expresión será la diferencia de dichas raíces.

EJEMPLO 1

1) 8a3 -36a2b+54ab2-27b3

La raíz cúbica de 8a3 es 2a

La raíz cúbica de 27b3es 3b

3(2 a)2(3b) = 36a2 b, segundo término

3(2 a) (3b)2 = 54ab2, tercer término

Y como los términos son alternativamente positivos y negativo, la expresión dada es el cubo de:

R. (2a -3b)3

CASO 9

SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Pasos para resolver el ejercicio:

1. Descomponemos en dos factores.

2. En el primer factor se escribe la suma o la diferencia según sea el caso, de las raíces cúbicas de los dos términos.

3. En el segundo factor se escribe la raíz del primer término elevada al cuadrado, empezando con el signo menos y de ahí en adelante sus signos alternados (si es una suma de cubos) o con signo más (si es una diferencia de cubos) el producto de la primera raíz por la segunda, más el cuadrado de la segunda raíz.

La fórmula (1) nos dice:

REGLA 1 la suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La suma de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, menos la multiplicación de las dos raíces, más el cuadrado de la segunda raíz. a3 +b3 =(a+b) (a2-ab+b2)

La fórmula (2) nos dice:

REGLA 2

La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:

1. La diferencia de sus raíces cúbicas

2. El cuadrado de la primera raíz, más el cuadrado de la segunda raíz.

a3 - b3 =(a-b) (a2+ab+b2)

EJEMPLO 1

27x3 + 125 y9 = (3x+5y3) (9x2-15x y3+25y6)

1 – a3 = (1-a) (1+a+ a2)

1 + a3 = (1+a) (1-a+ a2)

a3 + 27 = (a+3) (a2- 3a+ 9)

x3 – 27 = (x -3) (x2- 3x+ 9)

CASO 10

SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES

Procedimiento: