La matematica en el renacimiento italiano

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Problemas de la época

Para entender de mejor manera el cómo los renacentistas resolvían y atacaban sus problemas, es necesario tomar en consideración que el álgebra no se encontraba lo suficientemente desarrollada, por lo que las formas de resolución distaban bastante de lo que podríamos hacer hoy en día. A continuación, un ejemplo de un problema y su resolución:

Problema:

“Tengo un pez que pesa 60 libras, la cabeza pesa 3/5 del cuerpo y la cola pesa 1/3 de la cabeza. Pregunto, ¿Cuánto pesa el cuerpo?”

Resolución:

- “Di que el cuerpo del pescado pese 30 libras, los 3/5 de 30 hacen 18, que sería el peso de la cabeza. La cola pesa 1/3 de la cabeza, esto es 6. Pon todo esto junto y obtendrás 54; pero tú querías que fueran 60, que menos 6 es lo que has obtenido; por tanto, poniendo 30 obtuve 6 menos. Tomo una nueva posición: toma ahora que el pez pese 25, la cabeza pesaría 3/5 , que hacen 15 y la cola, que es un tercio de la cabeza, sería un tercio de 15 que es 5. Suma juntos y hacen 45; pero tu querías 60, obtienes 15 menos; poniendo 25 obtuve 15 menos. Ahora multiplica 15 por 30, hacen 450, luego 6 por 25, que hacen 150; resta esto último de 450, te quedara 300. Resta 6 de 15, quedan 9, que es el divisor. Divide 300 por 9 y resultan 33 1/3. Los 3/5 de 33 1/3 son 20, y un tercio de 20 son 6 2/3. Por tanto el cuerpo del pez pesara 33 1/3, la cabeza 20 y la cola 6 2/3. Sumados hacen 60, que es lo que dije que pesaba el pez.”

Este método es llamado regla de la falsa posición, que junto a la regla de tres, la regla de las aleaciones y de las compañías, formaban parte de la enseñanza común de la época y representaba la forma que se tenía de resolver problemas.

La ecuación cubica

A continuación, un extracto del relato del cómo, en una fría noche, surge la idea de la fórmula de la ecuación cubica.

“La historia comienza en la noche del 12 de febrero de 1535. Niccolo Tartaglia sentado en el escritorio de su casa en Venecia lee y relee. Sobre la mesa hay unos papeles escritos con una caligrafía que no es la suya, contienen numerados treinta problemas de matemáticas. Al lado hay una hoja llena de garabatos y de dibujos. Tartaglia, cuando se quiere concentrar, suele hacer pequeños dibujos sobre un papel. Dibuja letras, caras de monstruos, pequeños dibujos geométricos. Así suele entretener el tiempo a la espera de la idea buena que le permita resolver un problema. Lleva así cuarenta y ocho días encerrado, leyendo y releyendo la lista de problemas planteados por su rival, Antonio María de Firore. Y la inspiración no llega. Ha llenado ya muchos papeles con garabatos. Ha analizado uno a uno cada uno de los enunciados, y nada. En los últimos días no ha salido de la casa. Aunque el enunciado de cada problema es distinto, todos resultan extrañamente parecidos. Analizándolos todos ellos se reducen al capítulo del cubo y la cosa igual a un número. Por ejemplo, uno de ellos dice:

Determina por donde debe ser cortado un árbol de 12 varas de altura de tal manera que la parte que quede en tierra sea la raíz cubica de la parte superior cortada.

O este otro:

Encuentra un número que se convierte en 6 cuando se le suma su raíz cubica.

También este es del mismo tipo. Pero ¿Cómo se resolverá?. El plazo marcado por los contrincantes se está agotando. Dentro de ocho días Niccolo deberá consignar ante el notario las soluciones y, hasta ahora, no ha resuelto ninguno de los problemas. Finalmente, avanzada la noche, llega la inspiración. Encuentra una formula, quizás esta sea La Formula. La emoción casi le impide proseguir. Al tratar de verificar si es válida, se tropieza en los cálculos. En varias ocasiones llega a pensar que se ha equivocado, que el problema no puede resolverse así. Suda a pesar de que es febrero y es de noche y que, apagado el fuego, la casa se ha ido quedando fría de apoco a poco. El invierno en Venecia es frio y duro. La humedad de la laguna asciende formando brumas en los canales. Penetra por las paredes. Traspasa la ropa y llega hasta los huesos. De nada sirve abrigarse más, ponerse encima más ropa. Es lo mismo. La humedad penetra y llega hasta los pensamientos.

Esta casi a punto de desistir, de rendirse a la evidencia de que Fra Luca debe estar en lo cierto. Que los problemas del cubo y la cosa igual al número no tienen solución. Pero, a la vez siente un extraño impulso que le obliga a continuar. Esta lista de treinta problemas debe tener solución. Antonio Maria del Fiore debe conocer algún secreto, algún método resolutivo, para todos estos problemas que le ha propuesto. Y si este método existe, si lo tiene Del Fiore, el, Niccolo Tartaglia, lo redescubrirá, lo encontrara y resolverá con el los treinta problemas: vencerá la disputa”

Tartaglia hace gala del sentimiento renacentista para mantenerse firme y centrarse en su persona, mantenido por el orgullo para así lograr encontrar la forma de resolver las ecuaciones cubicas. Tartaglia no se hubiese sostenido, de no ser por creer que Del Fiore tenía un conocimiento que el no, pensando siempre en vencer y mantenerse debido al prestigio que poseía. Es destacable desde muchos puntos, la motivación de Tartaglia, haciendo gala del periodo que vivió y haciendo gala de como la testarudez lleva al descubrimiento.

Origen del problema

Durante el siglo XV, en muchos de los libros de ábaco, escritos por maestros de este tipo de escuelas, se había ido difundiendo el uso del algebra. Con el paso del tiempo surgieron nuevos problemas y se estudiaron muchos otros casos, pero uno de ellos se resistía a ser solucionado, el que atañía al cubo, el cuadrado, la cosa y el número. Es decir a distintos casos de la resolución de la ecuación cubica o más bien, resolver lo que se llamaba “El capítulo”, del cubo y la cosa igual a un número.

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Ante lo cual surge la duda natural de ¿Cómo resolver esta ecuación? Hasta la fecha, todos los intentos por resolver esa ecuación habían sido fallidos. Muchos afirmaban conseguir formulas, sin embargo estas fórmulas que fallaban al cambiar los números. Incluso Pacioli en su “summa de arithmetica, geometría, proporcionati et proportionalità” escribió: “Diría que el arte (El álgebra) a tal caso todavía no ha dado modo (solución), así como todavía no ha dado modo al cuadradatura un circulo”.