LÍMITES Y DERIVADAS DE UNA FUNCIÓN

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Para una mejor comprensión del comportamiento de las funciones en un punto cercano se plantea el siguiente ejemplo de manera ilustrativa en donde por simple inspección se puede concluir e idealizar el concepto de límite:

Ejemplo 1: Observar el comportamiento de la función con regla de correspondencia en las cercanías cuando [pic 4][pic 5][pic 6]

[pic 7]

Las flechas indican la aproximación a un mismo valor en ambas direcciones, se observa que el valor de y acerca a cinco. Aunque por el momento solo se hayan puesto a prueba seis valores podemos concluir de manera intuitiva que la función tiene a 5 cuando su variable independiente (x) toma valores muy cercanos a 2, el comportamiento de la siguiente función puede ser descrito de la siguiente manera:

[pic 8]

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Definición formal de límite

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.

Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto p, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a p, pero distintos de p.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

[pic 9]

Si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

Para un mayor rigor matemático se utiliza la definición épsilon-delta de límite, que es más estricta y convierte al límite en una gran herramienta del análisis real. Su definición es la siguiente:

En el estudio de Contreras y García (2012) se hace referencia al propuesto de Bernard Bolzano (1817) en relación con la definición formal del límite de una función de la siguiente forma:

"El límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c es menor que δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades" (Contreras & García , 2012, p. 20).

Esta definición, se puede escribir utilizando términos lógico-matemáticos y de manera compacta:

[pic 10]

Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades o reglas:

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Teoremas básicos de límites

En esta sección se presentan las propiedades más elementales de los límites

Límite de una constante: Si k es una constante y a un número cualquiera, entonces

[pic 11]

Para cualquier número dado a,

[pic 12]

Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces

[pic 13]

Límite de una constante por una función:

[pic 14]

Demostración:

Si , dado que el , existe tal que . En consecuencia, del mismo asegura que , con esto queda demostrado el teorema.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Límite de una suma de funciones: El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:

[pic 22]

Demostración:

Dado que el y , existe tal que si , entonces y para dicho valor de , , para cualquier número real b y c se verifica que , , si se la reorganiza se obtiene:[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

[pic 33]

Por lo tanto, la misma existencia de un tal que y para asegura que , con esto queda demostrado el teorema.[pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39]

Límite de una resta de funciones: El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los límites de cada una de ellas, la demostración para este teorema se la especifica en el apartado previo.

[pic 40]

Límite de un producto de funciones: El límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:

[pic 41]

Dado que el y , para cualquier número positivo existe un número positivo tal que si , entonces y . Por lo tanto, para dicho valor de , y [pic 42][pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50]

Podríamos pensar que, como consecuencia, la una o la otra de las siguientes relaciones debe ser cierta:

[pic 51]

O [pic 52][pic 53]

Es decir, para expresarlo de forma mas general facilmente podriamos pensar que si y , entonces . Pero esta idea es equivocada, por ejemplo 0.99 y -1.01 pero no es cierto que .[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59]

En vista de lo aterior, para demostrar este teorema, tal vez sea mejor no seguir la misma estrategia anterior, es decir que para cualquier número positivo , por minimo que sea, existe un numero positivo , tal que si , entonces[pic 60][pic 61][pic 62]

. Por lo tanto, a continuación, se usará una especia de la demostración por contradicción.[pic 63]

Primero,