PID con 2 grados de libertad

...

Con estos valores tenemos que Gc1(s) será:

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Ahora podemos determinar los valores de Kp; Ti y Td con la función anterior, quedando de la siguiente forma:

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Kp=40 ; Ti=0,5 ; Td=0,125

Para comprobar la respuesta a una entrada de perturbación en escalón unitario, se obtiene la función de transferencia en lazo cerrado Y(s)/D(s).

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Figura 4. Respuesta a una entrada de perturbación en escalón unitario

Diseño de Gc2(s): Ahora se diseña Gc2(s) para obtener las respuestas deseadas a las entradas de referencia. La función de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s) está dada por:

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Para encontrar los valores de Kp y Td primero colocamos los dos ceros junto con la ganancia de forma tal que el numerador es el mismo que la suma de los tres últimos términos del denominador, esto es:

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Y luego despejamos por términos semejantes para encontrar los valores de ambas variables.

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Por lo tanto:

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Con las funciones de Gc1(s) y Gc2(s) ya definidas podemos escribir la función de transferencia en lazo cerrado de Y(s)/R(s) de nuestro proceso, el cual queda de la siguiente manera:

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Para comprobar que el diseño de nuestro controlador cumple las especificaciones solicitadas en el problema, graficamos las respuestas del sistema para escalon unitario, rampa unitaria y aceleración unitaria.

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Figura 5. Respuesta a una entrada de referencia en escalón unitaria

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Figura 6. Respuesta a una entrada de referencia en rampa unitaria

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Figura 6. Respuesta a una entrada de referencia en aceleración unitaria

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Conclusión

Para el controlador Gc1(s) podemos elegir varias combinaciones de valores para K y a que satisfagan el requerimiento, pero optamos por la que nos brindó mayor rapidez y menor tiempo de estabilización, esto no significa que sea la mejor opción para implementar en un caso real ya que a lo mejor para lograr estas respuestas tendríamos que ocupar componentes más grandes y costosos.

Los valores que conseguimos para nuestro controlado cumplieron todas las exigencias puestas en el problema, ya que se logró un peak pequeño ante la perturbación y un asentamiento rápido que no sobrepasa los 2 segundos y los errores ante entradas escalón, rampa y aceleración son prácticamente cero.

También se observó que independiente de los valores que escogiéramos para el controlador Gc1(s), los valores para Gc2(s) según las ecuaciones siempre nos dieron el mismo resultado, siendo este último controlador el menos influyente en nuestro sistema

Con este tipo de controlador a diferencia de un control PID convencional podemos controlar la perturbación y los cambios de consigna de manera independiente. En el caso de un PID convencional por lo general son sintonizados para el rechazo de las perturbaciones o para un buen seguimiento del cambio en la señal de consigna siendo necesaria la elección de uno u otro modo de sintonía y obteniendo, como regla general, un mal rendimiento en seguimiento cuando se utiliza una sintonía para regulación y viceversa.