Simulação padrão de difração através de uma abertura.

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A FFT é o algoritmo utilizado para executar a DFT de uma forma eficiente e expedita; Isto é conseguido com este algoritmo é simplificar o cálculo da DFT introduzindo "atalhos" matemáticos para reduzir drasticamente o número de operações.

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Simulação Padrão de difração

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Transformada de Fourier usando MatLab.

Quando a distância entre a abertura e a tela é grande ou uma lente é utilizada para focar o padrão de difração para o plano da imagem.Então o padrão de difraçãotorna-se de uma transformada de Fourier dada pela equação.

(9)[pic 25]

A transformada de Fourier de estruturas simples, tais como grelhas, aberturas retangulares, circulares, etc. aberturas têm soluções analíticas. No entanto, é preciso ser capaz de fazer transformadas de Fourier de estruturas 2D arbitrárias.

A fim de realizar a transformada de Fourier 2D num método eficiente computacionalmente, MatLab possui um Fast Fourier Transform embutido função (FFT). A função de FFT em MatLab usa o algoritmo de Cooley-Tukey para realiza uma Transformada de Fourier Discreta (DFT) dada pela equação (7).

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Discretizada Aberture

A abertura amplitude 2D é analisado em MatLab, basta criar uma imagem preto e branco da abertura de um programa padrão de gráficos e salvar o arquivo de imagem com 2 níveis de cor. Quando a imagem é lida em MatLab a abertura será discretizado pelo pixelation da imagem com o branco sendo transmissão completa e ser negro bloco completo.

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Calculando a DFT

Primero inserimos a imagem em MatLAb, Figura 2 mostra a imagem de abertura que é lido para MatLab usando o seguinte código:

Im = imread('nomedaimagem','gif');

[pic 26]

Figura 2. Imagem lida em MatLab de uma abertura retangular.

O DFT 2-dimensional é comutada utilizando o comando fft2 em MatLab. No entanto, o comando fft2 coloca a intensidade máxima para os cantos, em vez de no centro.

E=fft2(Im); Retorna a transformada de Fourier discreta bidimensional (DFT) de X. O DFT é calculado com o algoritmo de transformada de Fourier rápida (FFT). O resultado, Y, é o mesmo tamanho de X.

[pic 27]

Figura 3. Imagem DFT calculado usando o comando fft2 em MatLab.

O comando fftshift correções esse problema e colocar a intensidade máxima de volta para o local desejado. O código MatLab para a mudança é:

E=fftshift(Im); reorganiza o vetor Im, organiza frequência crescentemente. Se "E" é o vector resultante, depois de fazer um FFT, utilizando esta função reordenamos os pontos em função da freqüência.

[pic 28]

Figura 4. Imagem do comando fftshift que desloca os cantos de volta para o centro.

[pic 29]

Figura 5. Imagem distribuição de intensidade 3D

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Escalada

A última parte da computação transformada de Fourier 2D é trocar o indexador em coordenadas espaciais discretas físicas. A frequência discreta é dada por:

(10)[pic 30]

O qual é um espaço contínuo relacionado com a frequência,

(11)[pic 31]

Substituindo (9) em (10):

(12)[pic 32]

Onde é o tamanho do pixel, , onde W é a largura da abertura e M é o número de pixels.[pic 33][pic 34]

O último passo é, então, uma realização da substituição ditada pela aproximação de Fraunhofer dado pela equação resultando em:[pic 35]

(13)[pic 36]

Substituindo os valores de , obtemos:[pic 37][pic 38]

(14)[pic 39]

A extensão espacial completa do padrão de difração é observe que as coordenadas espaciais estão relacionadas com o número de pixels.[pic 40]

O número de pixels no padrão de difração é igual ao número de pixels na imagem inicial. No entanto, dado que a extensão do padrão de difração aumenta com o número de pixels, a resolução espacial aumenta como número de pixels e é dada por, . Assim, a resolução espacial é falecida, aumentando a extensão da imagem. A extensão total da imagem é sem alterar a largura da abertura aumentada pela adição de espaço ao redor da imagem, que é chamado de zero preenchimento. [pic 41]

Os cálculos são realizados com imagens em formato *.gif de 1024 pixels. Onde, comprimento de onda , largura de abertura , distância focal da lente . A Figura 6 e 7 mostram os cálculos para alguns tipos de aberturas.[pic 42][pic 43][pic 44]

O problema associado com a adição de uma grande quantidade de preenchimento com zeros é que se muito poucos pixels cobrir a abertura real, em seguida, o padrão de difração calculado não será tão exata.

[pic 45]

Figura 6. Imagens obtidas com abertura circular

[pic 46]

Figura 7 Imagens obtidas com abertura quadrada.

[pic 47]

Figura 8 Imagens obtidas com uma letra.

Para observar a variação da distribuição de intensidade, tomando como exemplo a simulação de uma imagem de abertura circular, para fazer isso, escolheram as imagens com diferentes diâmetros, simulamos e armazenamos as respostas de cada um em uma única imagem. Como podemos ver na Figura 8, a linha azul representa a menor abertura, o amarelo da maior abertura, ou seja, quando a abertura é grande distribuição de intensidade é grande, quando a abertura