Aplicaciones de las integrales dobles y triples

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[pic 44]

4) Momento de inercia respecto a un eje

Suponga que se tiene una lámina que ocupa una región en el plano tal que la densidad superficial en el punto () tiene medida , donde es continua en . Entonces la medida del momento de inercia de la lámina con respecto al eje , denotado por , está determinada por[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52]

[pic 53]

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De manera similar, la medida del momento de inercia de la lamina con respecto al eje , denotado por , esta dad por [pic 55][pic 56]

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Ejemplo.

Un alambre recto homogéneo tienes una densidad lineal constante de k kilogramos por metro. Calcule el momento de inercia del alambre con respecto al alambre que pasa por uno de sus extremos.

Solución. Suponga que la longitud del alambre es de a metros, y que se extiende a lo largo del eje x a partir del origen. Se determinara el momento de inercia del alambre con respecto al eje y. divida el alambre en n segmentos de modo que la longitud del i.ésimo segmento es metros. Entonces, la masa del i-ésimo segmento es kilogramos. Suponga que la masa del i-ésimo se concentra en un punto , donde . La medida del momento de inercia del i-ésimo segmento con respecto al eje y se encuentra entre y y esta aproximado por . Si el momento de inercia del alambre con respecto al eje y es I y kilogramos-metro cuadrado, entonces [pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

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Conclusión: el momento de inercia es .[pic 69][pic 70]

5) Definición de momento polar de inercia

Suponga que se tiene una lámina que ocupa una región R del plano xy tal que la densidad superficial en el punto (x, y) tiene medida ρ(x, y), donde ρ es continuo en R. Entonces la media del momento polar de inercia denotado por , está definida por:[pic 71]

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Ejemplo:

Una lámina rectangular homogénea tiene una densidad superficial constante de k. calcule el momento de inercia de la lámina con respecto a una esquina.

Solución: Suponga que la lámina está limitada por las rectas x = a, y = b y los ejes x y y calcule el momento de inercia con respecto al origen.

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6) Definición del radio de giro

Si I es la medida del momento de inercia con respecto a un eje L de una lámina y M es la medida de la masa total de la lámina, entonces el radio de giro de la lámina con respecto a L tiene medida r, donde:

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Ejemplo:

Suponga que una lámina tiene una forma de un semicírculo y que la medida de la densidad superficial de la lámina en cualquier punto es proporcional a la medida de la distancia del punto a partir del diámetro, si la masa se mide en kilogramos y la distancia en metros, calcule el radio de giro de la lámina con respecto al eje x.

Solución: Elija los ejes x y y de modo que el semicírculo sea la parte superior del circulo limitado por la circunferencia . Entonces la densidad superficial de la lámina en el punto es . Así, si es la masa de la lámina entonces: [pic 80][pic 81][pic 82][pic 83]

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Si es el momento de inercia de la lámina con respecto al eje x, entonces:[pic 90]

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Por lo tanto, si es el radio de giro, entonces [pic 97]

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7) energía cinética de una lámina de rotación

La energía cinética total es la suma de las energías cinéticas de cada una de las partículas de la lámina. Esta suma se puede expresar de forma simple en términos del momento de inercia y la velocidad angular de rotación

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8) energía cinética en el movimiento rectilíneo

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

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En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

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9) MASA DE UN SÓLIDO EN EL ESPACIO

Considere una región tridimensional B, no homogénea, esto es que su densidad ρ varía en cada punto (x, y, z) ∈ B, donde la función densidad está expresada en unidades de masa por unidad de volumen,