Aplicación de Derivadas e Integrales

...

- Derivada de desplazamiento = velocidad

- Derivada de velocidad = aceleración

Por otra parte en el caso de las integrales,

- Integral de aceleración = velocidad

- Integral de velocidad = desplazamiento

(P.1)

Examinación Previa

De esta investigación surgen problemáticas, la primera es el hecho de que se debe de formular una ecuación en donde intervengan las variables del radio que se desea de la leva con funciones de, es decir delimitar una función estableciendo los valores del radio máximo y el radio mínimo que se desea que tenga la leva, se podría decir que será como un caso industrial, ya que las industrias realizan el mismo proceso de delimitar medidas, entre otras variables.[pic 4]

Entonces, el proceso matemático se dirigirá a la resolución de un solo problema, no aplicará para otros, ni mucho menos para una generalización del radio de levas, ya que la investigación se centra en la apreciación de la aplicación de las integrales y derivadas en este proceso, la cual se espera que se encuentre una vez que se tenga la función.

Ahora bien, las medidas del radio no serán las únicas variables que se tendrán que delimitar, ya que se busca llegar a la velocidad angular de la leva con el fin último de encontrar una aplicación de derivadas e integrales en la transición de desplazamiento a velocidad. Ya que también se necesitará establecer un valor para el tiempo y para la abertura en la parte máxima de la leva.

Lamentablemente, este problema de gran importancia para el trabajo, se debe al hecho de que las empresas que se dedican al diseño de mecanismos mecánicos como las levas, guardan toda la información de estos elementos en archivos confidenciales protegidos por patentes empresariales, es por ello que datos reales de levas no pudieron ser conseguidos, y se recurrirá al establecimiento de los mismos.

Procedimiento

Ahora debemos establecer los valores máximos y mínimos del radio de la leva sin justificación o razón matemática alguna, por lo tanto los valores son los siguientes:

Rmáx=15cm Rmín=5cm

Una vez que contamos con estos valores, podemos proseguir a la formulación de una función que nos arroje estos valores como máximo y mínimo, y ya que se trata de una leva, cuyo radio varía constantemente, se recurrirá a la utilización de una función senoidal o función de Seno.

Ya que el valor mínimo es 5, y que el Seno de un valor X puede llegar a ser “-1” se establecerá que a la función senoidal se le sumará “6”, como se puede observar a continuación:

F(x)= Sen(x)+6

Ahora, ya se cumple con el mínimo de 5cm, sin embargo no con el de 15, por lo tanto, se recurrirá a la multiplicación del Seno por 5, pero al poder llegar a tener el valor de “-5” ya no se tendrá que sumar “6”, sino “10” para cumplir con el mínimo, resultando la ecuación senoidal de la siguiente manera:

F(x)= 5Sen(x)+10

Esta ecuación sí cumple con el rango establecido de 5 a 15cm, y por lo tanto será la formula que utilizaremos para la leva.

Simplemente como método de comprobación de la ecuación en la siguiente gráfica realizada en la calculadora Ti-nspire; donde el eje Y representa la medida en cm de la leva y el eje X los valores de para la función, se puede apreciar que efectivamente se cumple con el máximo de 15cm de la leva, pero también que el valor máximo de X es de (1.57).[pic 5][pic 6]

[pic 7]

Sabiendo que r=5Sen(x)+10, donde “x” representa el ángulo, si se desea despejar el valor de la abertura de la leva en el punto máximo de , sustituyendo en la formula de:

L=[pic 8][pic 9]

Donde L representa el valor de la abertura, sustituimos de la siguiente forma, al contar con el radio y el valor de .[pic 10]

L=[pic 11]

Tenemos que,

L= = [pic 12][pic 13]

Obteniendo que,

L=23.5619cm

En este punto, podemos retomar la fórmula de L para observar que,

F() = [pic 14][pic 15]

Y ya que estamos manejando un desplazamiento, según nuestro marco teórico podemos obtener la velocidad angular de la leva al derivar la función, la cual nos resulta:

F1([pic 16]

Sustituyendo con el valor máximo,

F1([pic 17]

Resolviendo el Seno,

F1([pic 18]

Obteniendo,

F1([pic 19]

Al obtener que la derivada del desplazamiento de la leva es 10, podemos inferir en base a la teoría, que la velocidad angular máxima de la leva es de 10rad/s.

Conclusión

En conclusión, las herramientas del cálculo de derivadas e integrales se aplican en el proceso de diseño de levas en la ingeniería mecánica para determinar variables como aceleración angular, velocidad angular o desplazamiento angular, dependiendo de la variable que fue establecida por motivos industriales.

Ahora bien, el papel de estas herramientas es de suma importancia en esta área, debido a que sin el diseño correcto de las levas, los seguidores no serán empujados en su respectivo tiempo, por lo que todo el sistema de combustión interna fallará, inhabilitando el movimiento del vehículo. Es decir, que gracias a la aplicación de las derivadas e integrales somos capaces de transportarnos de un lugar a otro de manera rápida en un automóvil.

Finalmente, cabe remarcar que la hipótesis planteada fue rechazada desde el primer acercamiento, debido a que esta aplicación no nos proporciona las dimensiones de la leva, sino que nos permite despejar otras variables como la velocidad, al contar con las medidas del mecanismo.

Las herramientas del cálculo serán utilizadas