Otras aplicaciones de las Integrales Definidas

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En general, si se tiene un sistema de n partículas con masas m1, m2, . . . , mn localizadas en los puntos x1, x2, . . . , xn sobre el eje x, puede demostrarse de manera similar que el centro de masa del sistema se localiza en

[pic 44]

Donde m = ∑ m1 es la masa total del sistema, y la suma de los momentos individuales

[pic 45]

Se llama momento del sistema respecto al origen. La ecuación 4 podría reescribirse como m = M, que indica que si se considerara a la masa total como si estuviera concentrada en el centro de masa , entonces su momento sería el mismo que el del sistema. Ahora consideremos un sistema de n partículas con masas m1, m2, . . . , mn localizadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) en el plano xy como se muestra en la figura 8. Por analogía con el caso unidimensional, se define el momento del sistema respecto al eje y como[pic 46][pic 47]

[pic 48]

y el momento del sistema respecto al eje x como

[pic 49]

Entonces My mide la tendencia del sistema a girar respecto al eje y y Mx mide la tendencia a girar respecto al eje x. Como en el caso unidimensional, las coordenadas ( , ) del centro de masa están dadas en términos de los momentos por las fórmulas[pic 50][pic 51]

; [pic 52][pic 53]

Donde m = ∑ mi es la masa total. Puesto que m = My y m = Mx, el centro de masa ( , ) es el punto donde una sola partícula de masa m tendría los mismos momentos que el sistema.[pic 54][pic 55][pic 56][pic 57]

Ejemplo: Encuentre los momentos y el centro de masa del sistema de objetos que tienen masas 3, 4 y 8 en los puntos (-1, 1), (2, -1) y (3, 2), respectivamente.

Se usan las ecuaciones 5 y 6 para calcular los momentos:

[pic 58]

[pic 59]

Puesto que m = 3 + 4 + 8 = 15, usamos las ecuaciones 7 para obtener

; [pic 60][pic 61]

Así, el centro de masa es [pic 62]

- Espacio recorrido en un movimiento rectilíneo.

Para calcular el espacio recorrido en un movimiento rectilíneo planteamos quela posición del objeto en el instante t1 está expresada por s(t1) y s(t2) es la posición en el instante t2, la diferencia s(t2) - s(t2) es el cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t1, t2]. La fórmula se escribe de la siguiente forma a partir del T.F.C.:

[pic 63]

Ejemplo: Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t2 - 2t metros por segundo. Halle el desplazamiento entre 0 a 3 segundos.

[pic 64]

[pic 66][pic 68]= metros.[pic 65][pic 67][pic 69]