Propiedades de las integrales definidas.d

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[pic 41][pic 40]

Como se puede observar, en la figura de la izquierda, en donde se han trazado las gráficas de ambas funciones en un mismo plano, f(x) ≤ g(x), Ɐx [4,5].[pic 42]

Además, tanto f como g son continuas en [4,5];

Por lo tanto, y de acuerdo con el teorema PID9, se concluye que:

[pic 43]

- Propiedad de la integral definida no.10: Sea f continua en [a, b]. Si m es el valor mínimo absoluto y M el valor máximo absoluto de f en [a, b], y m ≤ f(x) ≤ M, a ≤ x ≤ b:

[pic 44]

Como f(x) ≥ 0, Ɐx € [a, b], el área de la región bajo la curva de f(x), encerrada entre las rectas x=a y x=b y el eje x, está dada por la integral definida:[pic 45]

[pic 46]

El área de la región rectangular cuyas dimensiones son M y (b-a) es mayor que el área por:[pic 47][pic 48]

Y, el área de la región rectangular cuyas dimensiones son m y (b-a) es menor que el área dada por: [pic 49][pic 50]

Ejemplo:

f es una función polinomial, por lo que es continua en ℝ y, en particular, continúa en [3,7][pic 51]

f’(x) → Siempre existe y nunca es 0; por lo que no tiene #s críticos

f(3) → 2(3) → 6: Valor mínimo absoluto

f(7) → 2(7) → 14: Valor máximo absoluto

Por lo que de acuerdo con el PID10, se tiene que:

[pic 52]

El valor de la integral definida pertenece al intervalo [3,7]

- Propiedad de la integral definida no.11 (Teorema del valor medio para la integral definida): Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces existe un numero z en [a, b] tal que:

[pic 53]

[pic 54]

Se toma como el área de la región encerrada por la curva f(x), las rectas x=a, x=b y el eje x. Entonces, PID11 establece que existe un numero z € [a, b] tal que el área del rectángulo ABCD cuyas dimensiones son la altura f (z) y el ancho (b-a) es igual al área de la región ABDF. [pic 55]

Ejemplo:

Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].

Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.

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[pic 58][pic 59][pic 60]

La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.

Ejercicios

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Conclusión

Al comienzo de esta investigación se tenía una idea muy básica de lo que eran las propiedades de las integrales definidas, se tenía la idea previa de que existía para cada una de estas once propiedades una demostración por la cual existe, en un comienzo fue algo confusa la información ya que dentro de este tema se manejan lo que es formula tras formula, una dentro de otra, para llegar al mismo fin, que es describir las propiedades de las integrales definidas.

Como conclusión se puede decir que las integrales definidas son las bases de algo grande, ya que estas nos brindan mucha ayuda a la hora de hacer cálculos necesarios que tal vez se utilicen en la construcción de un puente, de un edificio, subterráneos, etc., o tal vez en el salvar vidas al momento de calibrar maquinas que facilitan la detección de tumores, quistes, etc.

Por otra parte se da a entender que las integrales definidas ya existían desde hace muchísimos años, pero esta no se conocía como tal, los expertos ya utilizaban fórmulas para tratar de calcular el área de estas figuras amorfas.

Bibliografías

http://www.inetor.com/definidas/integrales_definidas.html

https://es.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

http://wwwcursocalculointegral.blogspot.mx/2012/01/suma-de-riemann.html

http://conceptodefinicion.de/integral/

http://ed21.webcindario.com/CalculoIntegral/teorema_del_valor_medio_para_la_integral_definida.htm

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Teoremas.htm