Axiomática de la teoría de conjuntos y los números reales.

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Los siguientes axiomas hablan de cómo encontrar los elementos neutros ya sean de la adición o multiplicación, respectivamente el primero nos dice que: dado un número real cualquiera existe otro número que al sumarlos el resultado es nulo, en lógica si este número es tal que al sumarlo con otro real este sea cero a esto se le llama inverso aditivo de ; el segundo trata de que un número real no nulo existe otro que al efectuar el producto éste, surge el elemento neutro multiplicativo denotado por ó de otra forma , se conoce como inverso multiplicativo de .[pic 29][pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35]

Luego están los axiomas de orden; el conjunto de los números reales está compuesto por el conjunto de los reales negativos y el conjunto de los reales positivos , en la cual denotamos que: , al ver esto vemos que cada subconjunto no deja a fuera a ningún elemento respectivamente, considerando lo anterior se tiene que . Si , entonces se escribe . De acuerdo a esta notación, esto no necesariamente debe de cumplirse dada las dos situaciones.[pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40][pic 41][pic 42]

Cuando se habla de orden significa que hay una relación de cantidad, admitiendo la existencia de una relación "menor que, mayor que, igual que" denotado por los símbolos entre los números reales, que establece un orden de los elementos a tratar. En el campo de los números reales también lleva una secuencia de pasos ordenados, es decir que todo los elementos del conjunto también poseen una relación, ya sea de mayor o menor que y tenemos que esto se conoce como orden. Estos axiomas de orden son cuatro a diferencia de los axiomas algebraicos estos últimos permiten demostrar los teoremas correspondientes al orden que poseen los números reales, se dice geométricamente que si está a la izquierda de y que este a su vez a la izquierda de entonces es menor de acuerdo a la recta numérica. [pic 43][pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Axioma Cuando tenemos dos números reales se cumple una y solo una de las siguientes relaciones: , (en algunos casos conocida como Ley de Tricotomía). Axioma : considerando lo anterior, sean dos números reales tal que , se deduce que: para todo número , (Consistencia de la suma respecto a la relación de orden), Si se toma en cuenta el elemento neutro aditivo teniendo dos números reales tales tal que , > entonces . En el axioma , dicho de otra forma seria que al tener tres números “x”, “y” e “z” tal que x 0 entonces se tiene que . Axioma Al tener tres números reales tal que , se umple que: , quedando demostrada así la propiedad transitiva de los números reales. [pic 48][pic 49][pic 50][pic 51][pic 52][pic 53][pic 54][pic 55][pic 56][pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63]

Como se ha visto las propiedades que poseen la teoría de conjuntos y los números reales son muy diversas, y es posible que algunas sean complicadas, o demostrar que cumplen esas propiedades es un poco más difícil, pero esas reglas han sido de gran utilidad para que el hombre haya podido trabajar cómodamente con ellos. Ambas teorías son muy estrictas respecto a sus axiomas, sin embargo, se puede observar que comparten algunas características entre sí, la teoría de conjuntos tiene los elementos, subconjuntos, y superconjuntos entre otros de igual forma el conjunto de los números reales están constituido por una serie de conjuntos tales como los números naturales, enteros, racionales e irracionales, es por eso que ambas teorías se complementan entre sí.

También por cumplir con las reglas de campo y las de orden, los números reales se les denominan un campo ordenado al igual que los conjuntos. Otro punto que también se pudo reconocer es que en las matemáticas existen reglas que simplemente se cumplen sin la necesidad de demostrarla, y que gracias a esas reglas fue posible que los grandes matemáticos desarrollaran las propiedades que poseen y que nos sirven para entenderlos mejor. En ambos enfoques se cumple que hay conjuntos que están constituidos por otros conjuntos, formando así familias de conjuntos; y así los elementos de un conjunto son otros conjuntos. En este sentido se puede observar fácilmente que cumplen los axiomas de conjunto unión y conjunto potencia.

Dada la importancia de los conjuntos, la teoría de conjuntos, junto con la lógica, constituye la base fundamental de las matemáticas modernas. Por esa razón surgió la necesidad de darle fundamentos lógicos a las discusiones matemáticas y es así como se puede aplicar los distintos conceptos y propiedades de la teoría de conjuntos a cualquier circunstancia de nuestra vida, es decir, que dicha teoría no solo es utilizada en el entorno matemático o lógico matemático, sino también en la vida cotidiana cuando se presentan problemas o dificultades al que no se le encuentra una manera de resolverlos o aclararlos.