Cálculo de raíces de polinomios

...

Se toman los coeficientes[pic 18]

7 28 2 7 22 -16 [pic 19][pic 20]

3

-5

Después de esta línea los coeficientes[pic 21]

cambian de signo de positivo a negativo

y viceversa como ven de -3 a 3 y de 5 a -5

7 28 2 7 22 -16 [pic 22][pic 23][pic 24]

3[pic 25]

-5

[pic 26]

Como son dos dígitos

bajo a la línea se

separa los dígitos

7 28 2 7 22 -16 [pic 27][pic 28][pic 29]

3[pic 30]

-5 [pic 31][pic 32]

Se pone en pares de dos

7 28 2 7 22 -16 [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36]

3 2 -20 [pic 37]

-5 6 -10[pic 38]

-3 5

[pic 39]

4 2 -1 9 -11

Se divide los exponentes de arriba con los de los Costados y se suma en línea desde la segunda

TEOREMA DEL FACTOR

El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma (x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.

Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).

Raíces de un polinomio

Son los valores que anulan el polinomio.

Calcular las raíces del polinomio:

P(x) = x2 − 5x + 6

P (2) = 22 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P(3) = 32 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son raíces o ceros del polinomio: P(x) = x2 − 5x + 6, porque P (2) = 0 y P (3) = 0.

Propiedades de las raíces y factores de un polinomio

- Los ceros o raíces enteras de un polinomio son divisores del término independiente del polinomio.

- A cada raíz del tipo x = a le corresponde un binomio del tipo (x − a).

- Podemos expresar un polinomio en factores al escribirlo como producto de todos los binomios del tipo (x — a), que se correspondan a las raíces, x = a, que se obtengan.

x2 − 5x + 6 = (x − 2) · (x − 3)

- La suma de los exponentes de los binomios ha de ser igual al grado del polinomio.

- Todo polinomio que no tenga término independiente admite como raíz x = 0, ó lo que es lo mismo, admite como factor x.

x2 + x = x · (x + 1)

- Raíces: x = 0 y x = − 1

- Un polinomio se llama irreducible o primo cuando no puede descomponerse en factores.

P(x) = x2 + x + 1

Hallar las raíces y descomponer en factores el polinomio:

Q(x) = x2 − x − 6

Los divisores del término independiente son: ±1, ±2, ±3.

Q(1) = 12 − 1 − 6 ≠ 0}

Q(−1) = (−1)2 − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 22 − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2)2 − (−2) − 6 = 4 + 2 − 6 = 0

Q(3) = 32 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 = 0

Las raíces son: x = -2 y x = 3.

Q(x) = (x + 2) · (x − 3)

ECUACION DE PRIMER GRADO

Se dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no está elevado a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.

Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

A x + b = 0 “a” diferente a 0

Su solución es sencilla:

X = - b / a

RESOLUCION

Las ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje, desarrollados a continuación mediante un ejemplo.

Dada la ecuación:

9 x – 9 + 1 0 8 x – 6 x – 9 2 = 1 6 x + 2 8 + 3 9 6

Transposición:

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación, normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que tienen x) en el otro miembro.

Podemos hacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otro lado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 a la derecha)

La ecuación quedará entonces así:

9 x + 1 0 8 x – 6 x – 1 6 x = 2 8 + 3 9 6 + 9 + 9 2

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda del signo igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente