CLASES UNIVERSITARIOS CALCULO FÍSICA ALGEBRA 78935510(WHATSAPP)-2225389.

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Sustuimos el valor de x en la segunda ecuación para hallar el valor de y :

Si x = 20 ⇒ y = 3x = 3 · 20 = 60

El sistema tiene una única solución: x = 20 , y = 60

METODO DE LA BISECCIÓN

ECUACIONES LINEALES

MÉTODOS DE RESOLUCIÓN: MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

EJERCICIOS EXPLICADOS Y RESUELTOS

1. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan

[pic 13]

La matriz aumentada del sistema es:

[pic 14][pic 15]

Se procede a conseguir el 1 principal en la primera fila y en las siguientes mediante operaciones elementales de fila y/o de columna.

[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23]

[pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

En este punto se puede observar que el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, por lo que existirá única solución. Se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.

[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

La solución del sistema es por lo tanto:

[pic 35]

[pic 36]

2. Resuelva el sistema de ecuaciones usando el método de Gauss-Jordan

[pic 37]

La matriz aumentada del sistema es:

[pic 38][pic 39]

Para resolver el sistema por el método de Gauss Jordan, debe llevarse la matriz a la forma escalonada reducida haciendo operaciones entre filas o columnas. Al observar la matriz se determina que el mejor paso para obtener el 1 en la primera fila es [pic 40]. Obtenemos la matriz:

[pic 41] [pic 42] [pic 43][pic 44][pic 45]

A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema original.

[pic 46][pic 47][pic 48] [pic 49][pic 50]

[pic 51] [pic 52][pic 53] [pic 54][pic 55][pic 56]

[pic 57] [pic 58][pic 59]

En este punto de la resolución se ha obtenido los 1 principales de cada fila, que tienen a su izquierda y debajo ceros. Comenzando con la última fila no nula, avanzar hacia arriba: para cada fila obtener un 1 e introducir ceros arriba de éste, aplicando las operaciones necesarias para conseguirlo.

[pic 60][pic 61] [pic 62][pic 63][pic 64]

[pic 65][pic 66][pic 67] [pic 68][pic 69][pic 70]

La solución del sistema es por lo tanto:

[pic 71]

[pic 72]

[pic 73]

3. Determinar los valores de a para que el sistema:

[pic 74]

a) Tenga solución única

b) Tenga más de una solución

c) No tenga solución

La matriz aumentada del sistema es:

[pic 75][pic 76]

Si observamos la primera fila vemos que resulta complicado conseguir un 1, de las 3 operaciones elementales, la más fácil de aplicar es [pic 77], es decir intercambiamos la fila 3 por la fila 1.

---------------------------------------------------------------

[pic 78][pic 79][pic 80][pic 81][pic 82]

A continuación se muestra el resto del procedimiento, para la solución del sistema original (no se divide el 2 de la primera fila para 2, así obteniendo un 1, porque se complicaría el proceso con las consiguientes fracciones).

[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 88][pic 89][pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

Aquí podemos observar que el proceso es similar al del método de Gauss, el determinante de la matriz de coeficientes es 2*2*(a+1), el cual nos servirá para reemplazar el o los valores de a que encontremos y así determinar cuando existe solución, infinitas soluciones o no existe solución.

En este punto de la resolución, si queremos hacer 1 al elemento 2(a+1), debemos garantizar que este elemento es diferente de cero (el coeficiente de la variable z no debe ser cero, lo cual produciría un error al analizar las soluciones infinitas, única solución o cuando no existe solución ya que estamos en medio del proceso).

[pic 94]

[pic 95]

Por lo tanto se puede realizar la operación [pic 96]y continuamos con el proceso.

[pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101]

[pic 102][pic 103][pic 104]

[pic 105][pic 106][pic 107][pic 108][pic 109][pic 110]

Luego de realizado el proceso, observamos que existe el determinante en la matriz de coeficientes que ya lo determinamos. Analizamos el valor de a hallado en pasos anteriores (a=-1) y los valores con los cuales los denominadores se hagan cero (se observa que el valor de a encontrado antes es el mismo que hace que los denominadores sean cero).

Si a es distinto de -1, el determinante es distinto de cero, luego:

a) [pic 111]

No existirá solución si a=-1, ya que el determinante se hace cero, si sustituimos este valor en las soluciones del sistema, tampoco existirá