CURVAS Y REGIONES EN EL PLANO COMPLEJO.

...

- Un punto no es un punto de acumulación si existe al menos un entorno punteado de que no tenga puntos de S.[pic 44][pic 45]

- Conjunto Abierto: S es un conjunto abierto si todo punto de S tiene una vecindad que consta por completo de puntos que pertenecen a S.

Ejemplo: los puntos al interior del circulo

No es: puntos al interior de una circunferencia

- Conjunto Cerrado: S es un conjunto cerrado si su complemento es abierto, siendo el complemento todos los puntos del plano complejo que no pertenecen a S.

- Conjunto Acotado: es aquel para cuyos puntos existe una constante M tal que:

[pic 46][pic 47]

- Aquel conjunto que no es acotado se considera conjunto infinito.

- Conjunto Compacto es acotado y cerrado

- Conjunto Conexo:

Un conjunto abierto es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden unirse por un camino formado por segmentos de recta (camino poligonal) contenidos en S.

Domino: conjunto abierto y conexo.

- Región:

Si a un conjunto abierto se le agrega algunos, todos o ningún punto de frontera se obtiene un conjunto llamado región.

- Si toma todos los puntos límites se considera región cerrada.

- Si no tiene puntos límites será una región abierta (dominio).

Sean dos funciones y de un parámetro real , definida para de manera que,[pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

Define una curva C que va del punto ) al punto , si la curva es cerrada.[pic 53][pic 54][pic 55]

- El círculo unitario es una curva cerrada.

- Ejemplos

- El conjunto |z|

- Un conjunto que contenga solo algunos de sus puntos frontera (pero no todos) no es ni abierto ni cerrado; por ejemplo, 0

- El conjunto de todos los números complejos es abierto y cerrado a la vez porque no tiene puntos frontera.

- El conjunto abierto |z|

- Los conjuntos |z|

- El origen es un punto de acumulación del conjunto i/n con n = 1, 2, 3, . . .

TEOREMAS SOBRE CONJUNTOS DE PUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO

- Teorema. (Bolzano) Todo subconjunto compacto e infinito tiene, al menos, un punto de acumulación

- Teorema. (Del recubrimiento de Heine-Borel) Todo recubrimiento formado por conjuntos abiertos de un conjunto compacto contiene un subrecubrimiento de dicho conjunto formado por un número finito de ellos.

El teorema se enuncia de la siguiente manera:[pic 56]

Si un conjunto tiene alguna de las siguientes propiedades, entonces tiene las otras dos:[pic 57]

- es cerrado y acotado.[pic 58]

- es compacto.[pic 59]

- Todo subconjunto infinito de tiene un punto de acumulación en [pic 60][pic 61]