Modelado y Simulación de Sistemas Complejos.

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n

n

xi = 0, i=2 x1 = 0,

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de donde vemos que hay n − 2 variables libres, por lo tanto el autovalor 0 tiene multiplicidad n − 2. Como A es simŽtrica, sus autovalores son reales, luego, como sabemos que la suma de los autovalores debe ser igual a su traza, que en este caso es cero, tenemos que los œltimos dos autovalores son de la forma ±λ ∈ R. Adem‡s, el polinomio caracter’stico de A es p(λ) = λn−2(λ2 − a2). Calculando potencias de A obtenemos

⎛ (N − 1)k 0T ⎞

N−1

si n = 2k

0N−1(N − 1)k−1 EN−1An = ,

T

0(N − 1)ke

[pic 6]N−1

[pic 7]

⎝si n = 2k + 1⎠

(N − 1)keN−1 0(N−1)×(N−1)

donde EN−1 es la matriz de orden N − 1 con unos en todas sus entradas. Sabemos que toda matriz se anula en su polinomio caracter’stico, entonces p(A) = 0, de donde obtenemos

(N − 1)k − λ2(N − 1)k−1 = 0,

√ √ 1 √ 1 entonces obtenemos λ = ± n − 1. y tenemos completos los autovalores de A: (0)n−2 ,n − 1,− n − 1.

Ahora encontramos que la matriz del Laplaciano esta dada por

T

N − 1 e

N−1

L =.

−eN−1 IN−1

Primero, vemos que todas las filas de esta matriz suman 0, luego el cero es un autovalor de L. Ade m‡s tiene multiplicidad algebraica 1. Aparte, como tenemos una matriz simŽtrica por bloques, por el teorema de entrelazamiento de autovalores, deducimos que L tiene el autovalor 1 con multiplici dad algebraica N − 2. Por œltimo, aprovechando la traza de la matriz, que suma 2N − 2, sabemos que la suma de los autovalores es 2N − 2, luego el espectro lo conforman (0)1 , (N)1 , (1)N−2, donde el exponente denota la multiplicidad.

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