Modelado y Simulación de Sistemas Complejos

...

N

I = ,

eλt +λt)

λ

e−λt + Nce−( N

−λteλt +λt)]−1

S = Neλt − [e+ Nce−( N λ.

2. (Modelado). Hemos visto que el modelo de predador-presa de Lotka-Volterra asume que en ausencia de predadores, la poblaci—n de presas, denotada por H, crece exponencialmente, y a la vez, en ausencia de presas, los predadores mueren de hambre, y su poblaci—n, denotada por P decrece exponencialmente. Como resultado de la interacci—n entre las dos especies, H decrece y P crece en una raz—n proporcio nal a la frecuencia de encuentros predador-presa. Los carro–eros juegan un papel importante dentro de los ecosistemas, nosotros deberemos generalizar el modelo Lotka-Volterra e introduciremos una tercera especie: los carro–eros. Asumiremos que los carro–eros no tienen impacto sobre los predadores o sus presas, pero que esta especie, S , morir‡ exponencialmente en ausencia de cualquier otra especie y se beneficiar‡ directamente en proporci—n del nœmero de muertes de H y P que ocurran naturalmente, as’ como las causadas por la predaci—n de P sobre H.

a) Escriba las tres ecuaciones del modelo modificado de Lotka-Volterra en presencia de especies ca rro–eras. b) ÀTiene el sistema un punto de equilibrio con valores finitos no nulos de las poblaciones de preda dores, presas y carro–eros?

Solución.

a) El modelo original de Lotka-Volterra es

H ' = bH − sHP, P ' = −dP + esHP,

donde

b = Tasa de nacimiento. s = Eficiencia de bœsqueda. d = Tasa de muerte. e = Eficiencia de transformaci—n.

Como la poblaci—n de carro–eros desaparecer‡ en ausencia de otras especies, pero se beneficia directa mente del nœmero de muertes de H y P que ocurren naturalmente, as’ como de las que son resultado de predaci—n de P sobre H, tenemos que agregar al modelo la siguiente ecuaci—n

'

S = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 ,

donde

a = Tasa de muerte natural de los carro–eros. f = Beneficio para el carro–ero por comer de los cad‡veres de las presas que matan los predadores. g = Beneficio por comer presas que mueren naturalmente. h = Beneficio por comer predadores que mueren naturalmente.

---------------------------------------------------------------

kS 2 = Es una cota para el crecimiento de los carro–eros.

Luego el modelo modificado de Lotka-Volterra en presencia de carro–eros es

H ' = bH − sHP,

P ' = −dP + esHP, '

S = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 .

'

b) Si el sistema tiene algœn punto de equilibrio (He, Pe, Se), el sistema debe satisfacer H' = P' = S = 0 y(He, Pe, Se) debe ser soluci—n del sistema

0 = bH − sHP,

0 = −dP + esHP,

0 = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 .

y de aqui se obtienen f‡cilmente los valores de H, P y S

d

He = ,

es b

Pe = ,

s f db + gds + hbes − aes2

Se = .

kes2

Esta es la œnica soluci—n para valores de H, P y S no nulos.

3. (Analítico). Considere el modelo predador-presa definido por el siguiente sistema de dos ecuaciones de recurrencia

Hn+1 = aHn(1 − Hn) − bHnPn

Pn+1 = dHnPn

donde Hn y Pn son, respectivamente, las densidades de poblaci—n reducidas de presas y predadores y a, b y d son constantes positivas. Este modelo asume que el depredador puede sobrevivir solo en presencia de una presa. Encuentre los puntos de equilibrio y discuta su estabilidad.

Solución.

Considerando el sistema de la siguiente manera

H = aH(1 − H) − bHP P = dHP

---------------------------------------------------------------

a − 1

podemos ver que (0, 0) es una soluci—n, si hacemos P = 0 ⇒ H = , y si despejamos H de la

a 1 a 11

segunda ecuaci—n, obtenemos H = , P = 1 −− .

d bdb

Entonces los puntos de equilibrio son

(H1∗ , P∗ 1) = (0, 0) ,

a − 1

(H2∗ , P∗ 2) =, 0,

a

1 a 11

(H3∗ , P∗ 3) =, 1 −− .

dbdb

Para estudiar la estabilidad vemos el Jacobiano del sistema, evaluamos en cada punto de equilibrio y calculamos los autovalores.

Hacemos el Jacobiano del sistema de ecuaciones

a − 2aHn − bPn −bHn

Df (H∗) =,

dPn dHny obtenemos sus autovalores mediante det(Df (H∗) − λI) = 0, esto es

(a − 2aHn − bPn − λ)(dHn − λ) + bdHnPn = 0, λ2 + λ(2aHn − dHn − a + bPn − 2adH2) + adHn = 0.

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