Calculo vetorial unidad 2 EN CUESTION A ENTRADA “NADIE ENTRA DESPUES DEL PROFESOR”

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- DEFINICIÓN DE LAS COMPONENTES DE UN VECTOR EN EL PLANO

Si “v” es un vector en el plano con punto inicial en el origen y punto final la expresión en componentes de “v” viene dada por .[pic 72][pic 73]

Las coordenadas se llaman las componentes de (v). Si tanto el punto inicial como el punto final son en el origen, v se llama el vector ϕ (vector nulo) se denota por: ϕ= [pic 74]

Procedimiento para usar los segmentos dirigidos a componentes, o inversa.

1.- Si P (p1, p2) y Q (q1, q2) son los puntos iniciales y final de un segmento dirigido, la expresión en componentes del vector “v”, representado por .[pic 75]

Es igual a [pic 76][pic 77][pic 78]

La longitud del es:[pic 79]

[pic 80]

[pic 81]

2.- Si v puede ser representado por el segmento dirigido, en posición canónica que va de P (0, 0) a Q (q1, q2).[pic 82]

La longitud de se llama también norma de v. Si se dice que es un vector unitario, por otra parte si solo “v” es el vector 0.[pic 83][pic 84][pic 85][pic 86]

EJERCICIO 2

- COMPONENTES Y LONGITUD DE UN VECTOR

Hallar la expresión de un componente y calcular la longitud de los componentes “v” con un punto inicial y un punto final .[pic 89][pic 87][pic 88]

[pic 90][pic 91]

- [pic 92]

[pic 93]

- OPERACIONES CON VECTORES

DEFINICION DE LA SUMA DE VECTORES Y DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR.

Sea & , vectores en el plano y un escalar.[pic 94][pic 95][pic 96]

1.- La suma vectorial de “u y v” es el vector [pic 97]

2.- El múltiplo de un escalar y es el vector [pic 98][pic 99][pic 100]

3.- El negativo de “v” es el vector menos “v” y este es igual a: .[pic 101]

4.- La diferencia de y es el vector menos : [pic 102][pic 103][pic 104][pic 105]

EJERCICIO 3

- OPERACIONES CONN VECTORES

Dados los siguientes vectores Calcular los vectores [pic 106][pic 107]

- [pic 108][pic 109]

- [pic 110]

- [pic 111]

La suma de vectores y en el producto de un escalar tienen propiedades con la aritmética ordinaria, como se muestra a continuación este siguiente Teorema (10.1).

- TEOREMA 10.1 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES.

Sea “u” & “v” vectores en el plano, al igual que “w” y sean “c, d” escalares.

AXIOMAS

1.- PROPIEDADES CONMUTATIVAS

2.- PROPIEDADES ASOCIATIVAS

3.- IDENTIDAD ADITIVA

4.- INVERSA ADITIVA

5.- ASOCIACION DE LA MULTIPLICACION

6.- PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

7.- ELEMENTO NEUTRO E IDENTIDAD[pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118]

Cualquier conjunto de vectores (con un conjunto acompañante de escalares) que satisfaga las propiedades anteriores constituye un ESPACIO VECTORIAL.

- TEOREMA 10.2 LONGITUD DE UN MULTIPLO ESCALAR.

Para todo tipo de vector “v” y todo escalar “c” se cumple que:

|c| es el valor absoluto de c.[pic 120][pic 119]

Demostración [pic 121][pic 122][pic 123]

[pic 124]

[pic 125]

[pic 126]

[pic 127]

En muchas aplicaciones de los vectores es necesario hallar un vector unitario en la dirección de un vector conocido.

- TEOREMA 10.3 VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCION DE “v”.

Si v es un vector no nulo en el plano, el vector unitario es:

Por lo tanto tiene la longitud 1, en la misma dirección de v.

Demostración [pic 131][pic 132][pic 133][pic 128][pic 129][pic 130]

EJERCICIO 4

- CONCLUSION DE UN VECTOR UNITARIO

Hallar un vector unitario en la dirección y comprobar que tiene una longitud 1[pic 135][pic 134]

[pic 136][pic 137][pic 138][pic 139][pic 140][pic 141][pic 142]

- VECTORES UNITARIOS CANONICOS

Los vectores unitarios y , se llaman vectores unitarios canónicos del plano y se denotan por:

i= VECTORES CANONICOS UNITARIOS.

j=

[pic 143][pic 144][pic 145]

En términos de estos vectores que se muestra en la figura 10.10 se puede expresar cualquier vector del plano como el siguiente ejemplo de gráfico. [pic 146][pic 147][pic 148]

[pic 149]

FIGURA 10.10

[pic 150]

COMBINACION LINEAL DE LOS VECTORES UNITARIOS CANONICOS.[pic 154][pic 151][pic 152][pic 153]

Demostración

Se llama una combinación lineal entre i & j.[pic 155]

Los componentes escalares se llaman