Primera unidad calculo diferencial

...

z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2),

Entonces.

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1

La verificación de las restantes, así como de la ley distributiva

z(z1 + z2) = zz1 +zz2, es similar.

De acuerdo con la ley conmutativa del producto, iy = yi; luego está permitido escribir

z = x + iy o z = x + yi

Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual que ocurría con los números reales. Pag.3

La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la identidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,

z + 0 = z y z * 1 = z

para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicos números complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos

(x, y) + (u, v) = (x, y),

donde (x, y) es cualquier número complejo. Se deduce que

x + u = x e y + v = y;

o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.

Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un inverso aditivo

-z (-x, -y)

que satisface la ecuación z + (-z) = 0. Además, hay un sólo inverso aditivo para cada z, pues la ecuación (x, y) + (u, v) = (0,0) implica que u = -x y v = -y.

Los inversos aditivos se usan para definir la resta:

z1 - z2 = z1 + (-z2).

Luego si z1 = (x1, y1) y z2 = (x2, y2), entonces

z1 - z2 = (x1 - x2, y1 - y2) = (x1 - x2) + i (y1 - y2).

Análogamente, para todo número complejo z = (x, y) no nulo, existe un número complejo z-1 tal que zz-1 = 1. Este inverso multiplicativo es menos obvio que el aditivo. Para hallarlo, buscamos números reales u, v expresados en términos de x e y, tales que

(x, y) (u, v) = (1,0).

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- Potencias de “i” Modulo o valor absoluto de un numero complejo.

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: Si pensamos en z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano.

Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en forma polar como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.

Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto para cualquier complejo z y w.

Por definición, la función distancia queda como sigue d (z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con los complejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la división de complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en los números complejos.

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- Forma polar y exponencial de un numero complejo.

Forma Polar

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo no nulo z = x + iy. Como:

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como:

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

Forma exponencial

La ecuación:

eiθ = cos θ + i sen θ

que define el símbolo eiθ, o exponencial (iθ), para todo valor real de θ, se conoce como fórmula de Euler. Si escribimos un número complejo no nulo en forma polar

z = r(cos θ + i sen θ),

la fórmula de Euler permite expresar z más compactamente en forma exponencial:

z = reiθ

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- Teorema de moivre, potencias y extracciones de raíces de un numero complejo.

Potencias de números complejos

Las potencias enteras de un número complejo no nulo z = reiθ vienen dadas por z = rneinθ (n = 0, +1, -1, +2, -2 ...)

Como zn+1 = zzn cuando n=1,2,…. esto se comprueba fácilmente para valores positivos de n por inducción, para el producto de números complejos en forma exponencial. La ecuación es válida también para n = 0 con el convenio de que z0 = 1. Si n = -1, -2..., por otro lado, definimos zn en términos del inverso multiplicativo de z escribiendo zn = (z-1)m, donde m = -n = 1, 2, ... Entonces, como la ecuación z = rneinθ es válida para potencias enteras positivas, se sigue de la forma exponencial de z-1 que

zn = [1/r ei(-θ)]m = (1/r)m eim(-θ) = rneinθ

Por tanto, la ecuación z = rneinθ es válida para toda potencia entera.

Nótese que si r = 1, z = rneinθ se convierte en

(eiθ)n = eiθn (n = 0, ±1, ±2 ...)

Cuando se expresa en la forma

(cos θ + i sen θ)n = cos nθ + i sen nθ

que se le conoce como la fórmula de Moivre.

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