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[pic 46]

Observación: Los momentos de masa de segundo orden con respecto a los ejes coordenados son también conocidos como momentos de inercia y son un indicativo de la medida de resistencia que ofrecería la región superficial R de densidad superficial de masa al cambio de movimiento rotacional, es decir, la resistencia que ofrecería la lámina al someterla a una rotación sobre los ejes coordenados.[pic 47]

Momento polar de inercia : el momento polar de inercia es el número real que se obtiene de sumar el momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados x de una lámina con densidad superficial con el momentos de masa de segundo orden respecto al eje coordenados y de una lámina con densidad superficial , esto es:[pic 48][pic 49][pic 50]

[pic 51]

Observación: La suma momentos de masa de segundo orden con respecto a los ejes coordenados x e y es también conocidos como el momento polar de inercia y es un indicativo de la medida de resistencia que ofrecería la región superficial R de densidad superficial de masa al cambio de movimiento rotacional respecto al origen o el eje z, es decir, la resistencia que ofrecería la lámina al someterla a una rotación sobre el eje coordenado z.[pic 52]

Traslación paralela de ejes (teorema de Steiner): Es un teorema que permite calcular el momento de inercia respecto a un nuevo eje de una región superficial de área A o volumétrica con densidad de masa superficial sin necesidad de integrar nuevamente, partiendo de la inercia rotacional respecto al eje ya conocido (eje v, el cual normalmente resulta ser uno que pasa por el centroide de área, masa o volumen), la masa de la región superficial o volumétrica y la distancia “d” entre los ejes considerados , bajo la condición de que ambos eje (v y n) deben ser paralelos, esta condición de equivalencia se expresa como:[pic 53][pic 54][pic 55][pic 56]

ó [pic 57][pic 58]

[pic 59]

ó [pic 60][pic 61]

Y de forma generalizada:

[pic 62]

Observación: Normalmente los momentos de inercia aparecen tabulados en tablas de caracterización para figuras o formas geométricas usuales respecto al centro de masa y conviene reescribir la ecuación anterior como:

[pic 63][pic 64]

Radio de giro: es la distancia perpendicular (r) respecto a un eje de giro k, en el interior de una lámina de densidad de masa superficial sometida a movimiento rotacional, en la cual se puede concentrar toda su masa y seguir produciendo el mismo momento de inercia que generaba la distribución de masa original. Esto se expresa a través de la relación:[pic 65][pic 66]

[pic 67]

Ejemplo ilustrativo 1: (masa-momentos de inercia de primer orden-centro de masa)

Una lámina tiene la forma de la región plana acotada por la circunferencia y la recta en el primer cuadrante, sabiendo que su densidad superficial en cualquiera de sus puntos vienen dada por . Determine la masa de la lámina, los momentos de inercia de primer orden respecto a los ejes coordenados e , y su centro de masa.[pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]

En primera instancia realizamos la construcción la región objeto de estudio:

[pic 73]

Para dar solución a la primera interrogante (masa de la lámina) evocamos la definición matemática que nos proporciona este concepto, esto es:

[pic 74]

Donde se hace visible en el elemento de integración la densidad superficial , también se debe tener presente que en el enunciado de la pregunta se nos dicen “su densidad superficial en cualquiera de sus puntos vienen dada por ” obligándonos a concebir la idea de una la lámina con densidad superficial variable dada por , y por ende las dimensiones de los diferenciales deben venir en unidades de (metro).[pic 75][pic 76][pic 77][pic 78]

Donde podremos escribir entonces:

[pic 79]

Y de una forma más específica como:

[pic 80]

[pic 81]

Note que la expresión a integrar es una función tal que con gráfica asociada de la siguiente manera:[pic 82]

[pic 83]

Puesto que , entonces el área confinada por le curva es la masa del pedazo de lámina confinado por la región en el intervalo :[pic 84][pic 85][pic 86][pic 87]

[pic 88]

Sabiendo esto podemos decir entonces que la masa de la lámina es de solo .[pic 89]

Ahora para el momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado de una lámina con densidad superficial en el intervalo tendremos:[pic 90][pic 91][pic 92]

[pic 93]

[pic 94]

[pic 95]

[pic 96]

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

Ahora de forma análoga para el momento de masa de primer orden respecto al eje coordenado de una lámina con densidad superficial en el intervalo (por razones antes mencionadas) tendremos:[pic 100][pic 101][pic 102]

[pic 103]

[pic 104]

[pic 105]

[pic 106]

[pic 107]

Ahora podemos concluir que los momentos de masa de primer orden respecto a los ejes coordenados de una lámina con densidad superficial en el intervalo son:[pic 108][pic 109][pic 110]

Y [pic 111][pic 112]

Conocida la masa () y los momentos de masa de primer orden respecto a los ejes coordenados e ( y ) podremos calcular el centro de masa (centroide geométrico de masa o centro de gravedad) de una región plana con densidad superficial de masa en el plano a través