Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas

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Tema No. 1. Límite de una función.

[pic 2]

Definición de función: Decir que significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L. [pic 3]

Ejemplo: Encuentre el [pic 4]

Solución. Note que ( no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.[pic 5]

[pic 6]

La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.

Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:

- Respuesta: -2[pic 7]

- [pic 8]

- Respuesta: 11[pic 9]

- [pic 10]

- Respuesta: 5[pic 11]

- [pic 12]

- [pic 13]

- Respuesta: -1/3[pic 14]

Calcule el límite por la derecha de la siguiente función: [pic 15]

Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:

Respuesta: -1[pic 16]

Tema No. 2. Límites trigonométricos.

[pic 17]

El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)

Ejemplo: Hallar el valor del límite [pic 18]

En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si entonces así que al aplicar el teorema del límite de un producto de dos funciones, se tiene:[pic 19][pic 20]

[pic 21]

En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma donde u=x-2, entonces[pic 22]

[pic 23]

[pic 24]

= (3) (1)

= 3

Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.

- Respuesta: 0[pic 25]

- [pic 26]

- Respuesta: -1[pic 27]

- [pic 28]

- Respuesta: 5[pic 29]

- [pic 30]

- Respuesta: -1[pic 31]

- [pic 32]

9. Respuesta: [pic 33]

10. Respuesta: 0[pic 34]

Tema No. 3. Continuidad de una función.

[pic 35]

Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son: discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica y discontinuidad de salto.

Ejemplo: Analizar la continuidad de la función en x= -2, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad corresponde.[pic 36]

Analizando la condición de continuidad

- No está definido en los números reales.[pic 37]

- [pic 38]

Existe en los números reales.

Por lo tanto No se cumple la condición de continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.[pic 39]

Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en 2; si no lo es, explique por qué.

- Respuesta: si[pic 40]

- [pic 41]

- Respuesta: no, porque g (2) no existe.[pic 42]

- [pic 43]

- Respuesta: no, porque h (2) no existe.[pic 44]

- [pic 45]

- Respuesta: no, porque g (2) no existe.[pic 46]

- [pic 47]

Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.

[pic 48]

Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.

Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función

[pic 49]

Igualando con cero el denominador:

[pic 50]

Resolviendo por factorización:

[pic 51]

[pic 52]

Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.

Calculando el límite de la función en estos dos puntos

- Para x=0

==-[pic 53][pic 54][pic 55]

La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-2/3)

Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.

1. Respuesta: