Un ejemplo Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial para la asesoría en el área de matemáticas
Enviado por Ensa05 • 9 de Diciembre de 2018 • 4.047 Palabras (17 Páginas) • 493 Visitas
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Tema No. 1. Límite de una función.
[pic 2]
Definición de función: Decir que significa que cuando x está cerca, pero difiere de c, f(x) está cerca de L. [pic 3]
Ejemplo: Encuentre el [pic 4]
Solución. Note que ( no está definido para x=3, pero todo está bien. Para tener idea de lo que sucede cuando x tiende a 3 se puede usar una calculadora para evaluar la expresión dada; por ejemplo, para 3.1, 3.01, 3.001, etc. Pero es mucho mejor usar un poco de álgebra para simplificar el problema.[pic 5]
[pic 6]
La cancelación de x-3 en el segundo paso es legítima, ya que la definición pasa por alto el comportamiento preciso de x=3. Por lo tanto, no se ha dividido entre cero.
Ejercicios: Encontrar los siguientes límites:
- Respuesta: -2[pic 7]
- [pic 8]
- Respuesta: 11[pic 9]
- [pic 10]
- Respuesta: 5[pic 11]
- [pic 12]
- [pic 13]
- Respuesta: -1/3[pic 14]
Calcule el límite por la derecha de la siguiente función: [pic 15]
Calcule el siguiente límite, obteniendo sus límites laterales:
Respuesta: -1[pic 16]
Tema No. 2. Límites trigonométricos.
[pic 17]
El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los teoremas correspondientes, en los cuales se considera que u=f(x)
Ejemplo: Hallar el valor del límite [pic 18]
En este tipo de límites formados por una parte algebraica y una parte trigonométrica, se considera para la trigonométrica que si entonces así que al aplicar el teorema del límite de un producto de dos funciones, se tiene:[pic 19][pic 20]
[pic 21]
En la parte algebraica, el límite del cociente resulta la indeterminación cero entre cero, por lo que la expresión primero se simplifica y después se obtiene el valor del límite. En la parte trigonométrica, el límite es de la forma donde u=x-2, entonces[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
= (3) (1)
= 3
Ejercicios: Calcular el valor de los siguientes límites.
- Respuesta: 0[pic 25]
- [pic 26]
- Respuesta: -1[pic 27]
- [pic 28]
- Respuesta: 5[pic 29]
- [pic 30]
- Respuesta: -1[pic 31]
- [pic 32]
9. Respuesta: [pic 33]
10. Respuesta: 0[pic 34]
Tema No. 3. Continuidad de una función.
[pic 35]
Existen tres tipos de discontinuidad de una función, los cuales son: discontinuidad evitable o restringible, discontinuidad infinita o asintótica y discontinuidad de salto.
Ejemplo: Analizar la continuidad de la función en x= -2, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad corresponde.[pic 36]
Analizando la condición de continuidad
- No está definido en los números reales.[pic 37]
- [pic 38]
Existe en los números reales.
Por lo tanto No se cumple la condición de continuidad, se presenta una discontinuidad evitable o restringible.[pic 39]
Ejercicios: Analizar si las funciones siguientes son continuas o no en 2; si no lo es, explique por qué.
- Respuesta: si[pic 40]
- [pic 41]
- Respuesta: no, porque g (2) no existe.[pic 42]
- [pic 43]
- Respuesta: no, porque h (2) no existe.[pic 44]
- [pic 45]
- Respuesta: no, porque g (2) no existe.[pic 46]
- [pic 47]
Tema No. 4. Puntos de discontinuidad en funciones algebraicas racionales.
[pic 48]
Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador.
Ejemplo: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función
[pic 49]
Igualando con cero el denominador:
[pic 50]
Resolviendo por factorización:
[pic 51]
[pic 52]
Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=3.
Calculando el límite de la función en estos dos puntos
- Para x=0
==-[pic 53][pic 54][pic 55]
La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,-2/3)
Ejercicios: Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta.
1. Respuesta:
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