DIVISION SINTETICA. GENERALIDADES.

...

se hace la operación de suma o resta.

1 2 – 1 – 2 1

1 x 1 = 1 3 x 1 = 3 2 x 1 = 2

1 3 2 0

Puede verse que, como último valor de la fila inferior, se ha obtenido el valor de CERO. Entonces, el valor de x = 1 ha generado el factor (x – 1), ya que dentro del paréntesis se coloca el valor de prueba cambiándole su signo.

Ahora, los valores obtenidos en la última fila, corresponden a las diferentes potencias consecutivas de lo que ha quedado del polinomio, después de llevar a cabo la primera división en el polinomio.

Entonces:

los coeficientes 1 3 2 (sin tomar ya en cuenta el último valor que ya es un CERO), generan un polinomio de grado 2 (un grado menor que el original).

Así, se tiene x2 + 3x + 2

Entonces, el polinomio queda hasta el momento:

x3 + 2x2 – x – 2 = ( x – 1 ) ( x2 + 3x + 2 )

Luego, el segundo paréntesis se puede factorar (ya no es necesario usar división sintética), quedando finalmente el resultado de:

x3 + 2x2 – x – 2 = ( x – 1 ) ( x + 2 ) ( x + 1 )

2. x3 – 3x2 – 4x + 12

Solución:

Primero, se toman solamente los coeficientes de las diferentes potencias consecutivas en el polinomio. Luego, se deja una segunda línea disponible para ir colocando valores, y se traza una línea, bajando el primer coeficiente. También se coloca un signo de división, para ir colocando los valores de prueba.

1 – 3 – 4 12

1

Segundo, los divisores del término constante son:

12 : ( 1, 2, 3, 6, 12 )

A continuación se coloca el primer valor de prueba, el cual debe ser tomado de las posibles raíces del polinomio. Puede comenzarse por cualquiera de ellos.

1 – 3 – 4 12 – 2

1

Se multiplica el primer coeficiente (el que fue bajado), por el valor de prueba. Luego, se hace la operación de suma o resta (según sea que los signos de la columna sean iguales o diferentes).

1 – 3 – 4 12 – 2

1 x – 2 = – 2

1 – 5

Ahora, se multiplica el segundo valor de la fila inferior, por el valor de prueba. Luego, se hace la operación de suma o resta.

1 – 3 – 4 12 – 2

1 x – 2 = – 2 – 5 x – 2 = 10

1 – 5 6

Seguidamente, se multiplica el tercer valor de la fila inferior, por el valor de prueba. Luego, se hace la operación de suma o resta.

1 – 3 – 4 12 – 2

1 x – 2 = – 2 – 5 x – 2 = 10 6 x – 2 = – 12

1 – 5 6 0

Puede verse que, como último valor de la fila inferior, se ha obtenido el valor de CERO. Entonces, el valor de x = – 2 ha generado el factor (x + 2), ya que dentro del paréntesis se coloca el valor de prueba cambiándole su signo.

Ahora, los valores obtenidos en la última fila, corresponden a las diferentes potencias consecutivas de lo que ha quedado del polinomio, después de llevar a cabo la primera división en el polinomio.

Entonces:

Los coeficientes 1 – 5 6 (sin tomar ya en cuenta el último valor que ya es un CERO), generan un polinomio de grado 2 (un grado menor que el original).

Así, se tiene x2 – 5x + 6

Entonces, el polinomio queda hasta el momento:

x3 – 3x2 – 4x + 12 = ( x + 2 ) ( x2 – 5x + 6 )

Luego, el segundo paréntesis se puede factorar (ya no es necesario usar división sintética), quedando finalmente el resultado de:

x3 – 3x2 – 4x + 12 = ( x + 2 ) ( x – 3 ) ( x – 2 )