Ecuacion de tercer grado - Ejercicios

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- Si Δ > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.

- Si Δ = 0 existe una raíz multiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.

- Si Δ existen tres raíces reales.

Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en + ∞ y - ∞ y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero, por el teorema de los valores intermedios. En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de Δ.

[pic 1]

III. Primer ejemplo

Sea 2t3 + 6t2 + 12t + 10 = 0 Sigamos los pasos descritos en el primer párrafo.

- t3 + 3t2 + 6t + 5 = 0 (al dividir por 2)

- con x = t + 1, es decir t = x - 1 reemplazando: (x - 1)3 + 3(x - 1)2 + 6(x - 1) + 5 = 0

desarollando: x3 + 3x + 1 = 0

- x = u + v, U = u3, V = v3 y nos imponemos U + V = - 1 y UV = - 1.

U y V son las raíces de X2 + X - 1 = 0.

[pic 2]

IV. Segundo ejemplo

Este ejemplo es histórico porque fue el que tomo Bombelli quien fue, con Cardano, el primero en resolver ecuaciones del tercer y cuarto grado por el método ya expuesto (en la Italia del renacimiento, en pleno siglo XVI).

La ecuación es x3 - 15x - 4 = 0.

Estudiando la función x → x3 - 15x - 4 o calculando el discriminante Δ = -13068

Los dos primeros pasos son inútiles. Pasamos al tercero: x = u + v , U = u3, V = v3.

U + V = 4 y UV = 125

U y V son las raíces de X2 - 4X + 125 = 0, ecuación cuyo determinante ya hemos calculado y que es negativo. Por lo tanto no tiene raíces reales. Este método no permite encontrar las raíces, todas reales, pasando obligatoriamente por los complejos. ¡ Es paradójico !

Esta constatación fue un argumento a favor de los complejos: son herramientas imprescindibles para resolver ecuaciones, aunque sólo tengan soluciones reales.

Hallamos U = 2 - 11·i y V = 2 + 11·i. Extraer raíces cúbicas en los complejos no es lo mismo que en los reales. Hay dos métodos: uno geométrico, que utiliza el argumento y el módulo (se divide el argumento por tres, y se toma la raíz cúbica del módulo), y otro algebraico, que emplea las partes real e imaginaria: Pongamos u = a + bi.

u3 = 2 - 11i equivale al sistema:

a3 - 3ab2 = 2 (parte real)

3a2b - b3 = - 11 (parte imaginaria)

a2 + b2 = 5 (módulo)

Obtenemos a = 2 y b = -1, o sea u = 2 - i, y v es su conjugado: v = 2 + i.

En conclusión, x = u + v = (2 - i) + (2 + i) = 4, lo que se verifica de inmediato.

Las otras raíces son x' = j(2 - i) + j2(2 + i) = - 2 + √3 y x" = j2(2 - i) + j(2 + i) = - 2 - √3.

Cuando Δ es negativo, U y V son conjugados, y por lo tanto también lo son u y v (con tal de bien escoger la raíz cúbica, recordando que uv = -p/3); así estamos seguros de obtener un x real, y de hecho también x' y x".