Ejercicios de programación lineal.

...

- X = X1 ; Y = X2

- Para representar el conjunto de puntos primero ingresamos las siguientes inecuaciones al programa:

- X1 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X2 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X1 +2X2

- X1 +X2 >= 2

- X1

- La grafica con el punto de maximización es:[pic 20][pic 21]

- Grafica con el punto de minimización[pic 22][pic 23]

- Respuesta: El punto de maximización es en (8,0) lo remplazamos en la función X1 – 3X2 y que da (8) – 3(0) = 8; Así que el valor máximo de la gráfica es 8. (0,5) es el punto de minimización de la gráfica así que reemplazaremos los valores en la función X1 – 3X2 = (0) – 3(5) = -15; el valor mínimo de la gráfica es menos -15.

- Hallar los valores máximo y mínimo de la función F (X, Y) = X + 2Y– 2 = X1 + 2X2 –2, sometida a las restricciones:

X + Y – 2 ≥ 0 ; X - Y + 2 ≥ 0 ; X ≤ 3; Y ≥ 1; Y ≤ 3

- X = X1 ; Y = X2

- Ingresamos las restricciones al programa

- X1 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X2 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X1 + X2 >= 2 ; Despejamos la inecuación X + Y – 2 >= 0

- -X1 + X2 >= 2 ; Despejamos la inecuación X - Y + 2 >= 0

- X1

- X2 >= 1

- X2

- La grafica para la maximización[pic 24][pic 25]

- La grafica para la minimización[pic 26]

[pic 27]

- Respuesta: El punto de maximización es en (3,3) lo remplazamos en la función X1 + 2X2 y que da (3) + 2(3) = 8; Así que el valor máximo de la gráfica es 9. (1,1) es el punto de minimización de la gráfica así que reemplazaremos los valores en la función X1 + 2X2 = (1) + 2(1) = 3; el valor mínimo de la gráfica es menos 3.

- Resolver gráficamente el siguiente problema de programación lineal:

Maximizar Z = 0.75X + Y. Sujeto a:

X + 3Y ≤ 15

5X + Y ≤ 20

3X + 4Y ≤ 24

X ≥ 0 ; Y ≥ 0

¿Es única la solución?

- X = X1 ; Y = X2

- Ingresamos las restricciones al programa

- X1 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X2 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X1 + 3X2

- 5X1 + X2

- 3X1 + 4X2

- El programa nos muestra la siguiente gráfica:[pic 28][pic 29]

- Respuesta: La grafica tiene múltiples soluciones tomare el punto (3.30,3.53) y lo reemplazare en la función de maximización 0.75X1 + X2 = 0.75(3.30) + (3.53) = 6

- Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:

X – 4Y ≥ - 4 ; X + 2Y - 4 ≤ 0 ; X ≥ 0 ; Y ≥ 0 .Se pide:

a) Dibujarlo y hallar sus vértices.

b) Razonar si es posible maximizar en él la f unción F (X, Y) = X + 2Y = X1 + 2X2.

c) En caso afirmativo, calcular el valor óptimo correspondiente y puntos donde se alcanza.

- X = X1 ; Y = X2

- Para graficar el recinto primero tenemos que ingresar las siguientes inecuaciones en el programa:

- X1 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X2 >= 0 ; Restricción de negatividad

- -X1 + 4X2 = -4 Ya que el programa en la sección de RHS no admite negativos.

- X1 + 2X2

- El grafico mostrado por el programa

[pic 30][pic 31]

- Respuesta: Los vértices del grafico son (0,0) , (0,1) , (1,0) y (1.33,1,33)

El polígono tiene múltiples soluciones tomaremos el que le pertenece a un vértice el punto (1.33,1.33) y lo reemplazaremos en la función de maximización X1 + 2X2 =

(1.33) + 2(1.33) = 4. El valor óptimo del polígono es 4 que se alcanza en el punto (1.33,1.33).

- Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 pesetas por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en El que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como máximo.

Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

- X1 = Folletos de la empresa A

- X2 = Folletos de la empresa B

- FUNCIÓN DE MAXIMIZACIÓN: F (X1, X2) = 5X1 + 7X2

- Ingresamos las siguientes restricciones al programa:

- X1 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X2 >= 0 ; Restricción de negatividad

- X1

- X2

- X1 + X2

- La gráfica:[pic 32][pic 33]

- Respuesta: (50,100) es el punto de beneficio máximo para hallar su valor lo reemplazamos en la función de maximización