El euclidianismo como modelo general del saber matemático

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Al relacionar el “enseñar matemáticas” con “enseñar y aprender técnicas algorítmicas” se cae también en la trivialización del proceso de enseñanza de las matemáticas.

Al enfatizar las técnicas simples se tiende a olvidar lo principal: la dificultad de escoger las técnicas adecuadas para construir una “estrategia de resolución”

En el tecnicismo se plantea ejercicios que sirven como entrenamiento para llegar a dominarlas, y excluye las estrategias de resolución complejas. La trivialización de los problemas, en este caso, proviene de una fijación tan fuerte en las técnicas elementales que impide tomar en consideración problemas matemáticos no rutinarios.

Ambos modelos, tienen una concepción psicologista ingenua del proceso didáctico, al cual se lo concibe como un proceso mecánico y trivial controlable por el profesor. Y son denominados modelos docentes clásicos.

En contraposición se encuentran los modernos, los cuales son resultados de una doble influencia: de la reacción a los modelos clásicos y como consecuencia de un cambo radical en el modelo epistemológico de las matemáticas dominantes en la institución.

El alumno:

- en el teoricismo se lo considera como una caja vacía a la cual debe llenarse en un proceso gradual que parte de los conceptos más simples a los más complejos.

- Y en el tecnicismo es considerado un autómata, es decir que mejora el dominio de la técnica por la repetición de ella en un entrenamiento a conciencia.

El mayor defecto de estos modelos es tratar a los problemas individualmente y no como una clase de problemas, y sacarlos de contexto y desconectarlos del sistema (matemático o extramatematico)

Modelos epistemológicos cuasi-empíricos

Se llegó a la convicción que la matemática considerada globalmente estaba organizada en sistemas deductivos no euclidianos, ya que en los sistemas matemáticos efectivamente construidos no se da una inyección de verdad indudable en los axiomas para que esta verdad fluya por los canales de las inferencias seguras e inunde a todo el sistema.

Por otro lado, nos encontramos con proposiciones matemáticas que son “indudablemente verdaderas” y constituyen las bases solidas sobre las que se construye el sistema deductivo, un conjunto de teoremas denominados por Lakato enunciados básicos.

Significa que lo que justifica una teoría matemática no es que los axiomas sean indudablemente verdaderos ni que no sean contradictorios entre sí. Sino que permita deducir efectivamente resultados esenciales.

Es por eso que ahora, el problema epistemológico cuasi-empírico (), plantea resolver un problema más amplio y de naturaleza no estrictamente lógica: el desarrollo del conocimiento matemático.[pic 2]

La forma de concebir el desarrollo de una teoría matemática se da por un patrón de conjeturas, pruebas y refutaciones: el patrón cuasi-empírico parte de un problema y la atención se centra en los bordes oscuros de la teoría en formación, lo esencial es el procedimiento, como el conjeturar, probar, contrastar, buscar ejemplos, modificar un poco el problema original, cambiar definiciones, etc.

De este modo, se destrivializa el contenido y la actividad de la matemática.

Este nuevo modelo epistemológico provoca en el Sistema de Enseñanza de las matemáticas una tendencia a identificar el saber matemático con la actividad matemática exploratoria propia del desarrollo de las teorías matemáticas informales. Esta será la influencia de la epistemología cuasi- empírica sobre los modelos docentes modernos y procedimentalistas. Los antiguos modelos serán considerados tradición o como practicas a renovar.

Aprender mediante una exploración libre y creativa: el Modernismo

El proceso de estudio de las matemáticas es un proceso no trivial, no mecánico e incontrolable por el profesor.

Los modelos docentes modernistas surgen de la necesidad de rescatar la actividad de resolución de problemas en sí misma, como reacción a las limitaciones en los modelos clásicos. Ahora, se los identifica la actividad matemática con la exploración de problemas no triviales, con tareas que se realizan cuando todavía no se saben detalles de la solución, se tantean algunas técnicas, se buscan problemas similares, se formulan hipótesis, se buscan contraejemplos, se intenta cambiar algo del enunciado, etc. Se caracteriza por conceder preeminencia absoluta al momento exploratorio.

Se trasladará el centro del proceso didáctico al aprendizaje y se considera al proceso de aprendizaje como un proceso de descubrimiento inductivo y autónomo.

Se identificará el “Enseñar y aprender matemáticas” con “enseñar y aprender con esta actividad exploratoria, libre y creativa de problemas no triviales”.

Exploración de problemas no triviales: problemas en cuyos enunciados no se sugiere el procedimiento de resolución (prohíbe explícitamente descomponer el problema en ejercicios) y se encuentran en dominio conceptual familiarizado con los alumnos. Tomando fácilmente posesión de la situación.

Una forma complementaria de conceptualización son los “problemas tipo olimpiadas”, donde se utilizan una combinación original de técnicas, se trabaja sobre ellos largo tiempo, no son de encontrarse en manuales, se aceptan varias estrategias de resolución. Incluso pueden ser resueltos en más de un dominio matemático.

Por ejemplo: Tres circunferencias del mismo radio pasan por un punto P. Demostrar que los tres puntos de intersección de cada dos circunferencias determinan una cuarta circunferencia.

Pero, aunque el modernismo pretende superar el conductivismo clásico, coloca en su lugar una especie de “activismo” constituyendo una modalidad del psicologismo ingenuo, agravando el aislamiento y descontextualización de los problemas.

El teoricismo, el tecnicismo y el modernismo constituyen modelos docentes extremadamente reduccionistas. Cada uno de ellos enfatiza una única dimensión de la actividad matemática, ignorando las restantes. Al desconocerlas, no se integran relaciones funcionales ni se complementan en un único proceso.

Aprender a utilizar una directriz heurística: el procedimentalismo

La destrivialización del conocimiento matemático realizada por el modernismo es artificial, porque se fundamenta en ocultar el entorno matemático para asegurar una libre