El principio del máximo de Pontryagin
Enviado por mondoro • 29 de Diciembre de 2018 • 12.443 Palabras (50 Páginas) • 342 Visitas
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t=T [pic 58][pic 59]
Linea Terminal vertical truncada
Si tenemos un tiempo terminal fijo T, y el estado terminal es libre pero esta sujeto a la disposición de que T min denota un nivel permisible de y minimo dado, enfrentamos una línea terminal vertical truncada.[pic 60][pic 61]
La condición de transversalidad para este caso puede enunciarse como la condición de holgura complementaria encontrada en las condiciones de Kuhn-Tucker:
r min (T – min) λ(T) = 0[pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66][pic 67]
El enfoque practico para resolver este tipo de problema es probar primero como la condición de transversalidad y probar si la T* resultante satisface la restricción T* min [pic 68][pic 69][pic 70][pic 71][pic 72]
Si es así, el problema está resuelto. Si no, entonces se debe tratar el problema como un problema de punto dado con min como el estado terminal[pic 73]
Linea terminal horizontal truncada
Cuando el estado terminal esta fijo en yT y el tiempo terminal es libre pero está sujeto a la restricción T*≤ Tmáx, donde Tmáx denota el tiempo permisible más reciente (una fecha limite) para alcanzar el yt dado, enfrentamos una línea terminal horizontal truncada. La condición de transversalidad se transforma en
t máx máx máx) t máx [pic 74][pic 75][pic 76][pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]
Nuevamente esto aparece en el formato de la condición de holgura complementaria.
El enfoque para resolver este tipo de problema es probar primerot máx . Si el valor de solución resultante es T* ≤ Tmáx, el problema está resuelto. Si no, debemos entonces tomar a Tmáx como un tiempo terminal fijo, el cual, junto con el yT dado, define punto final fijo, y resuelve el problema como un problema de punto final fijo.[pic 82][pic 83][pic 84][pic 85]
Aplicaciones económicas
Maximización de utilidad a los largo de todo el tiempo de vida
Supongamos que un consumidor tiene la función utilidad U(c(t)), donde c(t) es el consumo para el tiempo t. la función de utilidad del consumidor es cóncava y tiene las siguientes propiedades. U’ > 0 y U’’
El consumidor también está dotado con una dotación inicial de riqueza o capital K0 , con una corriente de ingreso derivada de la dotación capital de acuerdo con lo siguiente:
Y = rK
Donde r es la tasa de interés del mercado. El consumidor usa el ingreso para comprar c. Además, el consumidor puede consumir la inicial de capital. Cualquier ingreso que no se consuma, se añade a la existencia de capital como una inversión. Entonces:
K’ = I = Y – C = rK – C
El problema de la maximización de utilidad de tiempo de vida es:
Maximizar: [pic 86]
Sujeto a: [pic 87]
[pic 88]
Donde es la tasa personal de preferencia de tiempo del consumidor (. Se supone que C(t)>0 y K(t)>0 para todo t.[pic 89][pic 90]
El hamiltoniano es:
[pic 91]
Donde C es la variable de control y K es la variable de estado. Ya que U(C) es cóncava y la restricción es lineal en C, sabemos que el Hamiltoniano es cóncavo y la maximización de H puede alcanzarse haciendo simplemente = 0. Entonces tenemos:[pic 92]
[pic 93]
[pic 94]
[pic 95]
La ecuación establece que la utilidad marginal de descuento debe igualarse al precio sombra presente de una unidad adicional de capital. Al diferenciar (I) respecto a t, obtenemos:[pic 96]
[pic 97]
En vista (i) y (iii) tenemos:
[pic 98]
Que puede sustituirse en (i) para dar:
[pic 99]
O después cancelar el factor común y reordenar[pic 100]
[pic 101]
Dado que U’>0 y U’’, el signo de la derivada C’(t) tiene que ser el mismo que (r-. Por tanto, si r>, el consumo óptimo va a aumentar con el tiempo; si r, el consumo optimo va a disminuir con el tiempo.[pic 102][pic 103][pic 104]
La solución directa de (iii) nos da
[pic 105]
Donde es la constante de integración. La combinación de esto con (I) nos da [pic 106]
[pic 107]
Lo que muestra la utilidad marginal del consumo va a disminuir en forma óptima con el tiempo si r>, pero va a aumentar con el tiempo si r.[pic 108][pic 109]
Como la condición terminal K(T) 0 identifica al problema presente como uno que tiene una línea terminal vertical truncada, la condiciones de transversalidad apropiada es, por[pic 110]
[pic 111]
La condición clave es la estipulación de holgura complementaria, que significa ya que sea que la dotación de capital K debe agotarse en la fecha terminal, o que el precio sombra del capital debe caer hasta cero en la fecha terminal. Por hipótesis, U’(C) > 0, la utilidad marginal nunca puede ser cero. Por lo tanto, el valor marginal del capital no puede ser cero. Esto implica que el inventario de capital debe agotarse en forma optima para la fecha terminal T en este modelo. [pic 112]
Recurso no renovable
Sea s(t) un inventario de un recurso no renovale de q(t) la tasa de extracción para un instante t tal que
s’ = -q
El recurso extraído produce un bien de consumidor final c tal que
C = c(q) donde c’ > 0, c’’
El bien de consumo es el único argumento en la función utilidad de un consumidor representativo con las siguientes
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