Estudio termico del comportamiento de un satelite simplificado mediante metodos numericos

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Para ello se calcula la posición dentro del satélite donde a cada instante incide el ‘’rayo límite’’, llamado así al rayo último del Sol que incide en el cuerpo, siendo así la frontera entre la parte iluminada y la parte de sombra, como describimos en la figura 4.

[pic 25][pic 26]

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CÁLCULO DE LA RADIACIÓN DIFUSA.

La radiación difusa del cuerpo sigue la ecuación:

[pic 27]

Donde es la energía de las fuentes (source), que la proporcionada por el Sol (a los puntos de la frontera que les corresponde) y la emitida por el resto de superficies que es interceptada por la superficie i, además entra en juego la constante que es la reflectividad (reflectivity).[pic 28][pic 29]

Una vez hayamos discretizado nuestro cuerpo en diferentes superficies para poder abordar el problema, calculamos el factor de forma de la manera anteriormente descrita.

Sabiendo el factor de forma y las fuentes e introduciendo el operador delta de Dirac, podemos calcular la radiación difusa de modo que:

[pic 30]

Obteniendo así , para todos los puntos de la frontera.[pic 31]

Hasta aquí podemos decir que el problema pertenece a una parte óptica, que depende del Factor de Forma y la reflectividad, además de la posición del Sol. A partir de aquí entra en una parte ya más térmica de transferencia de calor por conducción.

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CÁLCULO DEL FLUJO DE CALOR EN LA FRONTERA.

Una vez conocemos para todos los puntos de la frontera somos capaces de calcular el flujo de calor en dicho punto, ya que está descrito por la ecuación:[pic 32]

[pic 33]

Y sabiendo el flujo de calor y que este es una condición de contorno de tipo Dirichlet para la ecuación del calor, el problema está cerrado.

Por último hemos introducido una simplificación para la condición de contorno, para simplificar el cálculo, esta es que a lo largo de la frontera, gran parte de esta está recubierta por una protección térmica, esto podría simular a un panel solar dentro del satélite que sirve para captar energía, y los paneles fotovoltaicos están dispuestos en la zona deseada, mientras que el resto de la frontera esta provista de unos refrigeradores que impiden que los paneles se sobrecalienten, así nos mantenemos dentro de unos márgenes de temperatura y la simulación numérica nos es más fácil. En nuestro problema la parte refrigerada se encuentra a 273 K. Quedando la superficie como indica la Figura 5

[pic 34]

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MODELO MATEMÁTICO Y PROGRAMACIÓN.

Una vez presentado el modelo físico y el camino a seguir para su resolución entramos en la fase de pasar dicho problema al ordenador, para ello utilizamos los conocimientos de cálculo numérico obtenidos durante el curso.

Lo primero a lo que procedemos sería en discretizar toda la superficie a estudiar en pequeñas superficies equiespaciadas, debido al ser una superficie no regular, su longitud en el eje X, varía, la discretización la haríamos en 3 partes diferenciadas, el brazo de la parte de abajo, el cuerpo, y el brazo de la parte de arriba, quedando la discretización total en conjunto como muestra la Figura 6.

[pic 35]

Una vez realizado este paso, proceder con los cálculos anteriormente descritos es una serie de operaciones matriciales y vectoriales a lo largo de un vector de los puntos de la frontera que no distan mucho de lo realizado durante el curso y los cuales podrán plantear dificultades a la hora de programar pero no como objeto de la disciplina del cálculo numérico, el cuál sí vuelve a intervenir una vez ya hemos tenemos determinado el flujo de calor en cada punto de la frontera.

Dicho flujo de calor al ser una condición de contorno de tipo Dirichlet, podemos tratarlo mediante las derivadas descentradas para calcular la Temperatura en los puntos de la Frontera.

La fórmula de las derivadas descentradas es:

[pic 36]

[pic 37]

Al haber discretizado la superficie en 3 superficies diferentes, las condiciones de contorno a considerar aumentan, siendo crítica la que pongamos en las zonas de transición que están en contacto de una superficie a otra, en nuestro caso elegimos que la Temperatura de ambos contornos tiene que ser la misma.

Por lo tanto teniendo ya las condiciones de contorno definidas para todo tiempo, ya que varían en función de la posición del Sol, y habiendo elegido unas condiciones iniciales aleatorias, en nuestro caso, que todo el satélite inicialmente tiene una temperatura de 273 K, podemos elegir uno de los esquemas temporales para integrar la función.

En nuestro caso elegimos el esquema lineal Adams de un paso, conocido como el esquema Euler, de tal manera que podemos resolver la ecuación del calor bidimensional:

[pic 38]

Queda por describir la función a utilizar para resolver el esquema temporal, función que fue proporcionada en clase y la cuál para cada punto es:[pic 39]

[pic 40]

Utilizando esta función y el paso Euler, tanto el error como el coste computacional dependen de .[pic 41]

Como medida de coste computacional utilizaremos el tiempo empleado por iteración, para ello medimos de forma manual el tiempo empleado para la ejecución de todo el programa y lo dividimos entre el número de iteraciones que ha realizado, para realizar este procedimiento y minimizar el error humano que puede producirse al cronometrar el tiempo, hemos medido para un número de iteraciones más altas que lo lógico para obtener resultados, así al dividir el tiempo entre un número alto el error inducido por la mano humana se difumina Este procedimiento lo hemos repetido para diferentes , y para diferentes número de iteraciones saliendo en todos al final el mismo resultado, por lo que el coste computacional podría indicarse como: [pic 42][pic 43]

En lo referente a la programación, el código será facilitado a parte de