Fundamentos Matematicos. Evidencia 2

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Sugerencia: para plantear y resolver la ecuación de población mundial que sigue el modelo logístico, debes calcular con los datos de la capacidad de carga de la Tierra, de la población en el año 2000 y en el año 2010, los valores de las tres constantes de la ecuación logística (son tres pares ordenados de datos tipo x, y). Plantearás 3 ecuaciones y tendrás 3 incógnitas. Resuelve el sistema y finalmente sustituye estos valores en la función logística y úsala para responder la pregunta planteada.

Respuestas de Evidencia.

PARTE 1

1) u = ln(x), du = dx/x; dv = x²; v = x³/3Queda: x³ ln(x)/3 - ∫x²/3 dx = x³ ln(x)/3 - x³/9) + C

3) Es una fracción propia. Factoreamos el denominador: x³ + 2 x² + x = x (x² + 2 x + 1) = x (x + 1)²Al haber factores repetidos, la descomposición es de la siguiente forma:A/x + (B x + C) / (x + 1)² = A (x + 1)² + x (B x + C) = 2 x² + 20 x + 6Identificamos polinomiosFactores de x²: A + B = 2Factores de x: 2 A + C = 20Factor independiente: A = 6Resolvemos: A = 6; B = - 4; C = 86/x; su integral es 6 Ln(x)- 4 x / (x + 1)² se resuelve con una sustitución u = x + 1La integral resulta: - 4 Ln(x + 1)8 / (x + 1)²; su integral vale - 12 / (x + 1)El resultado es:6 Ln(x) - 4 Ln(x + 1) - 12 / (x + 1) + constante

4) La división entre los polinomios es:Cociente = 2 x; resto = (x + 5)/(x² - 2x - 8)Los ceros del denominador son: x = 4, x = - 2Por lo tanto se factoriza como (x - 4) (x +2)Descomposición en factores simples:(x + 5) / [(x - 4) (x + 2)] = A / (x - 4) + B / (x + 2) == [A (x + 2) + B (x - 4)] / [(x - 4) (x + 2)]Identificamos las expresiones; deberá ser:A (x + 2) + B (x - 4) = x + 5Resultan A = 3/2; B = - 1/2Finalmente la integral es x² + 3/2 Ln(x - 4) - 1/2 Ln(x + 2) + C

PARTE 2

1. El modelo logístico se utiliza para calcular la población según el tiempo y nos da a entender que a mayor población, hay menor tasa de crecimiento. Al principio de toda población se crece muy rápido, por lo que es una fuente de presión constante y pierde su capacidad al momento en el que se hace numerosa, esto se debe a las interacciones entre los miembros de la población y por ende un estado de equilibrio.

2. Ecuación: dp / dt = r * P(t) - b * (p(T)) 2Variables:dp / dt = Tamaño de la población según el tiempo.p = Tamaño de la poblaciónr= Tasa de crecimientot= Tiempo

PARTE 3

a)Frank Fenner fue un científico médico australiano con una importante carrera en el campo de la virología. Uno de sus logros mas importantes fue la supervisión de la campaña para la erradicación de la viruela. Además afirmó que la población humana se extinguirá en 100 años debido a la sobre población, mal uso de recursos y cambios climáticos.

b)Se estima que de entre nueve y diez mil millones de habitantes es el limite para que la tierra aun pueda alimentar con una agricultura intensiva de alta tecnología y rendimiento.

c)En el año 2000 la población mundial era de 6 070 581 000 habitantes.

d)En el año 2010 la población mundial se estima que era 6 863 879 342 habitantes.

PARTE 4

Se puede decir que población total = población actual + natalidad (factor de cambio) tiempo - mortalidad (factor de cambio) tiempo

Entonces si la población total es de 29 000 millones

29000 = 7 000 + [(800)(1.0002) - (650)(0.997)] X

X = 143.27

Esto quiere decir que en 143.27 años obtendremos dicha cantidad de población mundial, pero como lo dijo Frank Fenner la tierra no llegará a tener dicha población debido a que no podremos sustentarnos los con recursos naturales y eso provocará nuestro fin.