GUÍA UNIDAD 1. SEGMENTO SEGMENTO RECTILINEO DIRIGIDO:

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Ángulo de dos rectas dirigidas: Es el formado por los dos lados que se alejan del vértice.

Así, el ángulo que forman las rectas l1 y l2, es el ángulo α, sin embargo si la dirección de la recta l2 cambia, entonces el ángulo seria β. Si las rectas son paralelas y tienen la misma dirección el ángulo seria de 0°, y si tienen dirección opuesta seria de 180°.

Ángulo de inclinación: Es el formado por la parte positiva del eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba. Así el ángulo de inclinación con la recta [l] es el ángulo α, y el de [l’] es α’. Por lo que α puede tener cualquier valor comprendido entre 0° y 180°, es decir, un intervalo =comprendido entre 0° ≤ α ≤ 180°.

[pic 27]

Para la mayoría de los problemas de geometría analítica se empleara más la tangente del ángulo de inclinación que el ángulo en sí.

Pendiente de una recta: Es la tangente del ángulo de inclinación de una recta, y se designa comúnmente con la letra “m”. Por tanto se puede decir:

[pic 28]

Si α es agudo, la pendiente es positiva como en el caso de [l], si α’ es obtuso, su pendiente es negativa como [l’], cualquier recta que coincida o sea paralela al eje Y será perpendicular al eje X, y su ángulo de inclinación es de 90°. Como tg de 90° no está definida, la pendiente de una recta paralela al eje Y no existe.

Teorema 4:

Si P1(x1, y1) y P2(x2, y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de un recta, la pendiente de la recta es

[pic 29]

ANGULO QUE FORMAN DOS RECTAS

[pic 30]

En la figura se muestran dos rectas l1 y l2. Sea C su punto de intersección y A y B los puntos en que cortan al eje X. Sea θ1 y θ2 los dos ángulos suplementarios que forman. Cada uno de estos ángulo, θ1 y θ2, se miden, tal como indican las flechas curvadas, en sentido contrario a las manecillas de un reloj, o sea, en sentido positivo, como en trigonometría. La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente.

Designamos por α1 el ángulo de inclinación de la recta l1 y por m1 la pendiente; para la recta l2, sean α2 y m2 el ángulo de inclinación y la pendiente, respectivamente. Para el ángulo θ1, la recta inicial es l1, la pendiente inicial es m1, la recta final es l2 y la pendiente final es m2; para el ángulo θ2, la recta y la pendiente iniciales, y la recta y pendiente finales, están dadas por l2, m2, l1 y m1, respectivamente. Ahora calculamos cada uno de los lados que forman estos ángulos.

Por geometría elemental, un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos interiores opuestos. Por tanto, en el triángulo ABC, siendo θ1 = ángulo ACB, tendremos:

[pic 31]

[pic 32]

Tomando las tangentes de ambos miembros, tenemos:

[pic 33]

Pero m1 = tan α1 y m2 = tan α2. Luego,

[pic 34]

Para el triángulo ABC, con θ2 por ángulo exterior, tenemos

[pic 35]

Tomando tangente de ambos miembros, obtenemos

[pic 36]

De donde obtenemos el resultado buscado:

[pic 37]

Comparando las dos ecuaciones de las tangentes de los ángulos, vemos que solamente difieren en el signo, lo cual era de esperar, ya que ambos ángulos son suplementarios.

Teorema 5:

Un ángulo especificado θ formado por dos rectas está dado por la formula

[pic 38]

En donde m1 es la pendiente inicial y m2 la pendiente final correspondiente al ángulo θ.

Corolario 1. Para que dos rectas sean paralelas es condición necesaria y suficiente que sus pendientes sean iguales.

Corolario 2. La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si, es que el producto de sus pendientes sea igual a -1.