HIPÓTESIS DE GAUSS - MARKOV

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Es muy importante decir que estas tres afirmaciones que aparecen aquí son hipótesis y por tanto no sabemos ni seremos capaces nunca de saber si en la realidad se cumplen o no se cumplen simplemente lo que hacemos es aceptar que se cumplen, vamos a suponer que se cumplen, vamos a ver qué consecuencias se duce de aquí; finalmente eso nos llevara a una evidencia estadística determinada y lo que haremos a posteriori será contrastar, contrastar si la evidencia empírica que hemos obtenido ya veremos cómo, si esa evidencia empírica que hemos obtenido es razonablemente compatible con el cumplimiento de estas hipótesis, si la evidencia empírica obtenida es compatible con el cumplimiento de estas hipótesis las mantendremos y en caso de que lleguemos a una evidencia empírica que no es compatible con estas hipótesis de aquí pues tendremos que aceptar que las hipótesis de Gauss Markov no se cumplen en nuestro caso y por tanto abra que tomar medidas correctoras.

CONSECUENCIAS DE LAS HIPÓTESIS DE GAUSS – MARKOV

En el anterior video hemos visto las hipótesis de Gauss – Markov y en este video vamos a ver cuáles son las consecuencias de esas hipótesis.

En primer lugar tenemos que recordar que el modelo teórico que era esto que teníamos aquí era un sistema de ecuaciones, de inecuaciones exactamente iguales que esta que aparece aquí y que ese modelo teórico tenía una solución que para nosotros era la solución óptima consistente en hacer que beta tuviera asignado el valor beta con circunflejo es decir la varianza de X y parte de la varianza de X y que alfa se le asignara el error, el valor perdón media de i menos beta por media de X al que llamamos alfa con circunflejo y que estos valores de aquí tanto beta circunflejo como alfa circunflejo eran estimaciones, valores que asignábamos a estas cinco bonitas; alfa y beta eran valores desconocidos mientras que alfa circunflejo y beta circunflejo eran las soluciones que dábamos a estas cinco bonitas y que hacían que se cumplieran todas las ecuaciones y que el sistema de inecuaciones que es el modelo teórico se convirtiera en un sistema de inigualdades al que llamábamos modelo de ajuste; bueno este beta circunflejo también lo solemos llamar (b) y este alfa circunflejo lo llamamos (a) y sobre estos elementos de aquí sobre los que consisten o se tratan las consecuencias las hipótesis de Gauss Markov, en particular y no vamos a demostrar nada todavía las demostraciones las dejaremos para el caso general cuando tratemos la regresión lineal múltiple, vamos simplemente anunciar cual es las consecuencias, y las consecuencias son :

La primera consecuencia es esta y podemos también decir, es decir tanto alfa circunflejo como beta circunflejo si queremos b y a son variables aleatorias esto todavía no lo podemos ver, lo veremos cuando trataremos el caso del modelo de regresión lineal múltiple, pero tanto alfa circunflejo como beta circunflejo o a o b son variables aleatorias y su esperanza matemática es respectivamente alfa y beta; bueno pues esto en una propiedad muy agradable porque quiere decir que no sabemos cuál es el valor concreto que a y b van a tomar en un caso particular pero lo que sí sabemos es que por termino general, por termino general su esperanza matemática es coincidir con el valor de la incógnita que pretendes estimar y cuando esto ocurre se dice que un estimador es insesgado, un estimador es insesgado cuando su esperanza matemática coincide con el parámetro que pretende estimar; bueno pues esto es lo que ocurre tanto como con la solución que encontramos para alfa y beta es la solución que por término medio acierta con el valor que pretende estimar, aunque claro nunca vamos a saber si en una cierta ocasión lo ha hecho o no porque estos alfa y betas son siempre desconocidos, como esta es una consecuencia importante de las hipótesis de Gauss Markov.

Y la segunda consecuencia importante es vamos a reservar el color azul para esto es que alfa y beta son blue utilizando las iniciales en inglés son los mejor estimadores lineales e insesgados, castellano la cosa queda un tanto más fea seria estimadores lineales insesgados óptimos elios sin h, normalmente reservamos la expresión blue para decir precisamente que alfa y beta, alfa y beta circunflejo a y b son los mejores estimadores lineales insesgados; ya hemos visto que son estimadores insesgados a demás son estimadores lineales como veremos cuando hablemos del caso general, bueno pues de entre todos los estimadores lineales insesgados que pueden existir estos dos alfa circunflejo y beta circunflejo son los mejores en el sentido de que su variabilidad es la más pequeña posible, es decir ya vemos que son insesgados y eso significa que por término medio aciertan pero cuando se equivocan se equivocan por mucho o se equivocan por poco; bueno pues lo que nos garantiza las hipótesis de Gauss Markov como veremos en su momento como lo demostraremos es que estos dos estimadores son de entre los insesgados y lineales los mejores aquellos que presentan una menor variabilidad, una menor incertidumbre. Supongamos que el valor beta que pretendemos estimarlo podemos representar así, bueno pues el estimador beta circunflejo es el que menos se desvía, el que presenta una menor variabilidad de entre todos los que son lineales e insesgados a la hora de estimar ese parámetro beta.