LA TEORÍA DE LA DUALIDAD Y ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD.

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Es posible determinar que tan grande puede ser Δi a partir del requerimiento de optimización de que Ci - Zi. (Último renglón) sea cero o positivo en un problema de maximización.

Para el coeficiente modificado Ĉi esto significa Ĉi – Zi ≥ 0 (último renglón).

Considerado a X3, nos gustaría determinar la magnitud del aumento en las utilidades que se requería para fabricar el fertilizante 5-5-5. Se requiere determinar Δ3 y C3. Se comienza añadiendo un coeficiente Δ3 al coeficiente C3 asociado con X3 en la tabla.

Antes de que X3 pueda volver a ser básica el valor Ci - Zi (Último renglón), asociado con X3 debe volverse no negativo. Expresado en términos de los valores reales de la tabla, esto significa que:

Δ3 – 4.0 ≥ 0

Δ3 = 4.0

Ahora:

Ĉi= Ci + Δi.

Ĉ3= C3 + Δ3

Ĉ3≥ 14.50 + 4.00

C3= 18.5

Esto indica que si la utilidad de X3 (fertilizante 5-5-5) se incrementara en más de $4.00, entonces entraría como variable básica y su producción se haría más redituable, en cambio, si se incrementa exactamente en $4.00 la utilidad total no se vería incrementada, pudiéndose o no fabricar X3.

Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $19.00

[pic 37]

Lo que quiere decir que:

- Se requieren producir 8,000 toneladas del fertilizante 5-5-5

- Se requieren producir 14,000 toneladas del fertilizante 5-10-5

- Y se tienen 900 toneladas de potasio de “holgura”

- Arrojando una utilidad de $ 432,000.00

Las utilidades sufren un incremento de $4000.

Comprobación, se incrementan las utilidades del 5-5-5 a $18.50

[pic 38]

No hay cambios en los resultados

Cambio en el coeficiente de la función objetivo de una variable básica.

Para analizar el efecto que tiene los cambios en la contribución a las utilidades para una variable básica, es posible, como se hizo en el análisis de las variables no básicas, añadir al coeficiente CJ un incremento ΔJ. Se denota a la nueva contribución a las utilidades como ĈJ= CJ + ΔJ. En el caso de la variable no básica la adición de Δ afectó solo una columna de la tabla, sin embargo, en el caso de una variable básica, puede resultar afectada más de una columna. Por ello, para determinar los límites de ΔJ se deben examinar todos los valores que CJ - ZJ que se ven afectados por ΔJ.

Ahora, se considerará un cambio en el coeficiente de utilidades de una variable básica X1, para ilustrar esto consideremos la siguiente tabla:

[pic 39]

X1

X2

X3

X4

X5

X6

X1

1

0

1

40

-20

0

8,000

X2

0

1

0

-20

20

0

14,000

X6

0

0

-.05

-3

1

1

500

CJ -ZJ

0

0

4 + Δ1

340 + 40 Δ1

30 - 20 Δ1

0

428,000 + 8,000 Δ1

Es esta tabla se están analizando cambios en las utilidades para el fertilizante 5-5-10, en estos momentos este fertilizante tiene una utilidad de $18.50, se ha añadido un coeficiente Δ1 para utilizarlo en el análisis de cambio en las utilidades para X1. El Δ1 se ha añadido en los que ocurre C1. Para que la solución actual siga siendo óptima debe asegurarse de que ningún valor CJ - ZJ se vuelva negativo.

La pregunta es, ¿Cuánto puede cambiar C1 en una dirección positiva o negativa para mantener la condición de optimización?

Puede determinarse la magnitud de estos cambios Δ1, despejando una desigualdad para cada uno de los valores no básicos CJ -ZJ, es decir:

Para X3: 4 + Δ1≥ 0 por lo tanto Δ1≥ - 4

Para X4: 340 + 40Δ1≥ 0 por lo tanto Δ1≥ - 340/40 ≥ -8.5

Para X5: 30 - 20Δ1≥ 0 por lo tanto Δ1≥ - 30/-20 ≥ 1.5

Lo que quiere decir que Δ1 puede variar desde -4 hasta + 1.5; es decir:

- 4 ≤ Δ1 ≤ 1.5

De esta manera, para que la tabla siga siendo óptima, la utilidad de X1 puede variar desde:

Ĉi = C +Δ1

Ĉi = 18.50 +Δ1

Valor mínimo:

Ĉi = 18.50 – 4 = 14.50

Valor