“LOS NÚMEROS REALES Y LA GEOMETRÍA ANALÍTICA”

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1.5 Axiomas de la Relación de Orden

O1) [pic 86]a[pic 87]R, [pic 88]b[pic 89]R; una y solamente una de las siguientes relaciones se verifica

a

O2) [pic 90]a[pic 91]R, [pic 92]b[pic 93]R, [pic 94]c[pic 95]R; ( a[pic 96] b) [pic 97] a(Transitiva)

O3) [pic 98]a[pic 99]R, [pic 100]b[pic 101]R, [pic 102]c[pic 103]R; a[pic 104] a+c(Monotonía con respecto a la adición)

O4) [pic 105]a[pic 106]R, [pic 107]b[pic 108]R, [pic 109]c[pic 110]R, 0[pic 111] a.c

(Monotonía con respecto a la multiplicación)

Definición de las relaciones: mayor, menor o igual y mayor o igual

- a>b [pic 112] b

- a[pic 113]b [pic 114] ( a[pic 115] a=b )

- a[pic 116] [pic 117] ( a>b [pic 118] a=b )

- a[pic 119] ( a[pic 120] x)

1.6. Axioma del Supremo

S) Todo conjunto de números reales A[pic 121], acotado superiormente tiene una mínima

cota superior en R, llamada supremo de A.

Definiciones de cota superior y supremo de un conjunto de R.

Si A[pic 122]R, A[pic 123]; diremos que [pic 124] es cota superior de A [pic 125] [pic 126][pic 127]x, [pic 128]x[pic 129]A. Luego diremos que [pic 130] es el supremo de A lo que denotamos por Sup A=[pic 131] si:

- x[pic 132][pic 133]; [pic 134]x[pic 135]A

- x[pic 136][pic 137] ; [pic 138]x[pic 139]A [pic 140] [pic 141][pic 142][pic 143]

Es decir, Sup A=[pic 144] es la menor de todas las cotas superiores de A.

Ejemplo 1.- Si [pic 145], se tiene que el [pic 146]

Ejemplo 2.- Si [pic 147], se tiene que el [pic 148]

2. Propiedades del Cero

- [pic 149]a[pic 150]R; a.0=0

- [pic 151]a[pic 152](R-{0}); [pic 153]

- La división entre cero no esta definida.

a[pic 154] [pic 155] [pic 156] no existe y [pic 157] es indeterminado

- [pic 158]a, b [pic 159]R; ab=0 [pic 160] ( a=0 [pic 161] b=0 )

- [pic 162]a[pic 163](R-{0}); [pic 164] y [pic 165] es indeterminado.

3. Propiedades Básicas de las Desigualdades

- [pic 166]a, b [pic 167]R; a[pic 168] -a>-b

- [pic 169]a, b, c [pic 170]R; ( a[pic 171] c0 ) [pic 172] ac>bc

- [pic 173]a[pic 174]R; [pic 175]

- [pic 176]a[pic 177]R, a[pic 178];[pic 179] y a tienen el mismo signo.

- Si a y b tienen el mismo signo, entonces

ab [pic 180] a-1>b-1

3.6. Regla de los signos:

[pic 181]a, b[pic 182]R,

- ab>0 [pic 183] a y b tienen el mismo signo

- ab>0 [pic 184] a y b tienen signos diferentes

- Si [pic 185] y [pic 186], entonces

[pic 187][pic 188] a>b

- Si [pic 189], entonces [pic 190]

- Si [pic 191], entonces [pic 192]

- Potenciación y radicación.- Si n es un entero positivo y a un número real. Llamaremos potencia de a elevado a la n al número real denotado por “[pic 193]” que definimos como:

[pic 194] ( n factores de a)

Ejemplos

[pic 195]

[pic 196]

4.1. Propiedades de Potencias.-Sean [pic 197] y [pic 198], entonces se cumplen las siguientes propiedades:

i) [pic 199]. Ejemplo: [pic 200]

ii) [pic 201]. Ejemplo: [pic 202]

iii) [pic 203]. Ejemplo: [pic 204]

iv) [pic 205]. Ejemplo: [pic 206]

v) [pic 207]. Ejemplo: [pic 208]

vi) [pic 209]. Ejemplo: [pic 210]

vii) [pic 211]. Ejemplo: [pic 212]

viii) [pic 213]. Ejemplo: [pic 214]

- Definición de la raíz n-ésima principal.- Sean n un entero positivo mayor que 1 y a un número real.

- Si a=0, entonces [pic 215]

- Si [pic 216], entonces [pic 217] es el número positivo, b, tal que [pic 218]

Ejemplo: [pic 219], pues[pic 220]

- a) Si [pic 221] y n es impar, entonces [pic 222] es el número real negativo b, tal que [pic 223].

Ejemplo: [pic 224], pues[pic 225]

Si [pic 226] y n es par, entonces [pic 227] no es un número real.

Ejemplo: [pic 228] ( a=-4 y n=2), la raíz es un número imaginario.

Nota.- Al símbolo “[pic 229]” se le llama signo radical, a la expresión “[pic 230]” se le denomina radical, el número real “a” es llamado radicando y el número “n” recibe el nombre de índice de la raíz.

- Propiedades de las raíces

i) [pic 231], si [pic 232] existe.

Ejemplos: [pic 233], [pic 234]. Nótese que [pic 235] pues [pic 236] no es un número real.

ii) [pic 237], si [pic 238].

Ejemplos: [pic 239], [pic 240]