Los Principios de suma.

...

Ejemplo:

¿De cuántas formas se pueden sentar 3 parejas de casados alrededor de una mesa circular, si no debe haber dos mujeres juntas ni dos hombres juntos?

Solución: 2! ´ 3! = 2 ´ 6 = 12

[pic 14]

El número de formas en que podemos sentar a los 3 mujeres alrededor de una mesa circular, dejando un lugar en medio es 2!. Obsérvese que el primer renglón de círculos, los seis arreglos diferentes tienen a M[pic 15]M[pic 16]M[pic 17] siempre en la misma posición; y en el segundo renglón, los seis arreglos tienen a M[pic 18]M[pic 19]M[pic 20]siempre en la misma posición; por ello son sólo dos arreglos de las tres mujeres, dejando un lugar en medio. Hay 3! = 6 formas de sentar a los tres hombres por cada uno de los dos arreglos de mujeres; quedando así en forma alternada.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Veamos otra aplicación del principio de la multiplicación. Supongamos que tenemos 20 niños de un grupo de Preescolar y 10 sabores de helados disponibles. ¿De cuántas formas diferentes podemos servir un helado a 20 niños?

Al primer niño le podemos servir uno de los 10 sabores, al segundo niño también le podemos servir los 10 sabores, al tercero también, y así sucesivamente. A cada uno de los 20 niños le podemos servir de los 10 sabores, por lo que

[pic 21]= nr

Ejemplo:

¿De cuántas formas podemos contestar un examen de 12 preguntas de opción múltiple, si cada pregunta tiene 5 alternativas de respuesta; pero no sabemos cuál es la combinación correcta, ¿cuál es el número máximo de intentos que podemos realizar antes de encontrar las doce preguntas correctas?

Solución: Para responder cada una de las preguntas del examen, tenemos 5 alternativas, y son 12 preguntas, por lo que

5 ´ 5 ´ 5 ´ ¼ ´ 5 (doce veces el 5)

= [pic 22]

Este es el número total de formas de contestar el examen, sin embargo una de ellas es la que tendría las doce respuestas acertadas, de tal forma que hay 512 -1 formas de responder el examen donde hay al menos una incorrecta.

Ejemplo:

¿Cuántos números de tres cifras con repetición se pueden formar usando todos los siguientes dígitos 7, 4, 8, 5, 3?

Solución: Como se pueden repetir los dígitos y son 5 de ellos, podemos colocar en la posición de las centenas cualquiera de los cinco y en la posición de las decenas también 5 dígitos al igual que en la posición de las unidades, por lo tanto, el resultado es 53 ó

[pic 23]

1.- ¿De cuantas maneras pueden sentarse 7 personas de una mesa si 2 personas insisten en sentarse una a lado de la otra?

(n-1)! (5!) (2!)

5x4x3x2x1=120

2x1=2

240

2.-Cuantas perturbaciones se pueden hacer utilizando todas las letras de la palabra CHIHUAHUA. nPr=[pic 24]

n=9

Hn1=3 nPr= [pic 25]

In2=1

Cn3=1

Un4=2

An5=2 9x8x7x6x5x4x3x2x1=362880

3x2x1=6

1=1

1=1 [pic 26]

2=1=2

2x1=2

- ¿Cuántas ordenaciones se pueden formar con las letras universo?

A) Si se utilizan todas las letras n8!

B) Si se utilizan 5 letras.

UNIVERSO nPr=[pic 27]

nPr== =6720[pic 28][pic 29][pic 30]

2.- ¿De cuantas formas pueden sentarse 12 personas en una mesa redonda?

Pcir n=(n-1)!

Pcir n=(12-1)!=11! 11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1=39,916800

De cuantas maneras se pueden ordenar 6 personas en una fila.

De cuantas maneras podemos acomodar 5 libros en un instante sin ordenar el orden.

1.- ¿De cuantas maneras distintas pueden colocarse los jugadores de un equipo de balón pie admitiendo que un defensa y un extremo siempre juegan en la misma posición?

(11-2)! 9x8x7x6x5x4x3x2x1=362880

9

2.- ¿De cuantas formas se pueden colocar 3 letras a,b,c tomadas de 2 en 2?

nPr=[pic 31]

nPr===3x2x1=6[pic 32][pic 33]

Resumen de las permutaciones

Descripción

Formula

Permutaciones sin repetición de n elementos tomados a la vez.

nPn=n!

Permutaciones circulares de n elementos.

Pcir n=(n-1)!

Permutaciones in repetición de n elementos tomados de r en r donde rsn.

nPr=[pic 34]

Permutaciones con repetición de n elementos tomados de r en r.

nr=[pic 35][pic 36]

Permutaciones de n elementos de los cuales P1 son de un tipo, P2 son de otro tipo….. PK de otro tipo donde P1+P2+PK=n

=[pic 37][pic 38]

3.- ¿De cuantas maneras se puede seleccionar un comité de 3 personas de un grupo de 35 sin sustitución?

[pic 39]

35x34x33=39,270