Matematica. Números Naturales

...

- Representación de números racionales en la recta numérica.

Recordemos que el conjunto de los números enteros se denota por [pic 11] y se define de la manera siguiente:

[pic 12]

Podemos representar los números enteros como puntos de una recta de la manera siguiente:

[pic 13]

-

Operaciones de los números racionales.

Suma:

Para sumar y restar números racionales existen dos casos diferentes con los cuales podemos tratar, el primero es cuando poseen un denominador distinto entre los sumandos, y el otro es cuando tienen un denominador de igual valor y es por este por el que vamos a empezar.

Cuando resolvemos la adición de números racionales y la sustracción de números racionales con igual denominador, simplemente se mantiene el mismo denominador que es el valor ubicado en la parte inferior de la fracción y sumamos o restamos los numeradores en la parte superior de la fracción según sea el caso:

65+35=6+35=95

Cuando tenemos denominadores de distinto valor, lo que tenemos que hacer es buscar una fracción equivalente, y encontrar el mínimo común múltiplo de los denominadores a través de multiplicaciones o divisiones que los igualen y formen fracciones equivalente, tomando en cuenta que cualquier operación realizada debe también realizarse al numerador para no alterar el resultado, por ejemplo si multiplicamos el denominador por 4 para encontrar el mínimo común múltiplo también debemos multiplicar por 4 al numerador, veamos:

14+65=520+2420=5+2420=2920

Notamos que el mínimo común múltiplo de 4 y 5 es 20, por lo tanto multiplicamos al primer sumando por 5 y al segundo por 4 para obtener un mismo denominador con fracciones equivalentes y luego los sumamos como fue mostrado en la operación anterior.

-

Multiplicación de números racionales

La multiplicación entre fracciones es sencilla si se sabe cómo hacer. En primer lugar, se multiplican los numeradores de todos los factores y a continuación el producto resultante se lo utiliza como numerador, luego se multiplican los denominadores y al resultado se lo ubica como denominador sin importar si el valor es igual o distinto, de esta manera:

43×56×12=4×5×13×6×2=2036=1018=59

En este caso el resultado pudo ser simplificado, dividiendo el numerador y el denominador para el mismo número hasta obtener el mínimo número entero en los dos cocientes.

En la multiplicación también existe un elemento inverso que da como resultado una unidad, tomando en cuenta que los números enteros también son números racionales si se los expresa como fracción, para explicarlo mejor, se ofrece algunos ejemplos:

13×3=13×31=33=1

Aunque entre fraccionarios no enteros, también sucede el mismo fenómeno:

57×75=3535=1

-

División de números racionales

Para dividir los números racionales, tomamos el numerador de la primera fracción y se lo multiplica por el denominador de la segunda fracción y este resultado será utilizado como numerador; a continuación se toma el denominador de la primera fracción y se lo multiplica por el numerador de la segunda fracción, y a ese resultado se lo ubica como denominador. Por lo tanto en el caso de la división, el orden de los cocientes si altera el resultado, veamos el siguiente ejemplo:

54÷23=5×34×2=158

Como se puede notar, para dividir los números racionales, se debe multiplicar en cruz, tomando en cuenta que el numerador y el denominador de la primera fracción no cambia de orden, pero los de la segunda fracción si lo hacen para lograr el resultado final.

-

Potenciación de números racionales

Para la potenciación de un número racional, se deben seguir estas simples reglas:

Si el número racional posee distintas potencias para distinto numerador y el denominador, solo se procede a potenciar cada cociente y simplificar si es posible:

a n b m

2332=89

Cuando se tiene el mismo valor en el numerador y el denominador, pero distinta potencia para cada uno, podemos sustraer la potencia del denominador de la del numerador y simplificar la fracción a un entero, de esta manera:

aman=am−n

3436=32−6=3−2

Aunque también se puede proceder de esta manera, tomando el mismo ejemplo:

3436=3×3×3×33×3×3×3×3×3=13×3=132=3−2

Para elevar los números racionales a una potencia natural, elevamos el numerador y el denominador a dicha potencia:

(ab)n=anbn

(32)3=3323=278

En el caso de que la potencia sea negativa, simplemente invertimos la fracción y la potencia:

(ab)−n=(ba)n=bnan

(56)−2=(65)2=6252=3625

Si la potencia es -1, simplemente se invierte la fracción:

(ab)−1=ba

(815)−1=158

Cuando la potencia es igual a 0, el resultado es 1:

(ab)0=1

(931)0=1

Si la potencia es igual a 1, el resultado será el mismo número racional:

(ab)1=ab

(1743)1=1743

Si se multiplican potencias con la misma base, en el resultado se mantiene la base y se suman los exponentes:

(ab)n×(ab)m=(ab)n+m