Material de entrenamiento de las olimpiadas de matematicas

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El ángulo formado por

las dos bisectrices es α + β por lo tanto tenemos que demostrar que α + β = 90◦. El ángulo interno

2 2 2 2

y el ángulo externo a un triángulo suman 180◦ por lo cuál α + β = 180◦. De está última igualdad,

al dividir entre 2, se tiene que α + β = 90◦ que es el ángulo formado por las dos bisectrices y el

2 2

problema queda demostrado.

6. Las medidas de los ángulos de un triángulo están en la razón 1:2:3. Hallar la medida de cada

ángulo.

Sol. Sea x la medida del menor de los ángulos del triángulo descrito. Como los ángulos están

en razón 1:2:3, entonces los otros dos ángulos del triángulo miden 2x y 3x. Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo son 180◦ entonces x + 2x + 3x = 180◦ de donde x = 30◦. Por

lo tanto las medidas de los ángulos del triángulo son 30◦, 60◦ y 90◦.

1.2 Congruencia de triángulos

Definición 3. Dos triángulos ABC, PQR se llaman triángulos congruentes. Si sus lados son iguales

y sus ángulos correspondientes son iguales. Es decir:

1. AB = PQ, BC = QR, CA = RP.

2. ∠ABC = ∠PQR, ∠BCA = ∠QRP, ∠CAB = ∠RPQ

Criterios de congruencia. De las seis igualdades mencionadas anteriormente. usualmente, tres

son suficientes para probar que los triángulos son congruentes. Aunque no siempre. Considera dos triángulos 4ABC y 4PQR:

Si los tres lados son iguales, entonces los triángulos 4ABC y 4PQR son congruentes.

(Es decir si AB = PQ, BC = QR y CA = RP). Este el postulado lado-lado-lado (LLL).

Si dos pares de lados son iguales y el ángulo entre ellos también, entonces los triángulos 4ABC

y 4PQR son congruentes.

(Por ejemplo si AB = PQ, BC = QR y ∠ABC = ∠PQR). Este el postulado lado-ángulo-lado (LAL).

Si un par de lados son iguales y los dos ángulos que usan este lado también son iguales, entonces

los triángulos 4ABC y 4PQR son congruentes.

(Por ejemplo si AB = PQ, ∠CAB = ∠RPQ y ∠ABC = ∠PQR). Este el postulado ángulo-lado- ángulo (ALA).

1.2.1. Problemas propuestos

Definición 4. Se llama triángulo isósceles a un triángulo con dos lados iguales.

1. Demostrar que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales.

Sol. Trazando la bisectriz al ángulo formado por los dos lados iguales, ésta divide al triángulo

en dos triángulos congruentes por criterio LAL. Ambos triángulos tienen un lado igual ya que

el triángulo original es isósceles, comparten otro lado que es el formado por la bisectriz y el ángulo formado entre estos lados que tienen iguales es igual ya que la bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos iguales.

2. Demostrar que si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces es isósceles.

Sol. Trazando una bisectriz por el ángulo que no tienen igual se forman dos triángulos. Éstos triángulos son congruentes por el criterio ALA pues la bisectriz determina dos ángulos iguales,

comparten el lado formado por la bisectriz y por hipótesis tienen un ángulo igual pues el

triángulo original es isósceles.

Observación 2. En el siguiente problema se muestra la congruencia como una herramienta muy útil para demostrar la igualdad de dos segmentos o rectas. La idea es encontrar dos triángulos que contengan los segmentos que queremos demostrar que son iguales y demostrar que estos triángulos son congruentes, claro está, hay que encontrar esos triángulos pues no todos funcionan.

3. Demostrar que si sobre los lados AB y CA de un triángulo 4ABC se construyen triángulos equiláteros 4ABC0 y 4CAB0, siempre se tiene que BB0 = CC0.

Sol. Fijémonos en los triángulos 4BAB0 y 4C0AC los cuales son congruentes: estos triángulos comparten dos lados, uno con el otro, ya que son los lados de dos triángulos equiláteros. Sea

x = ∠BAC0, entonces ∠BAB0 = x + 60◦ y ∠CAC0 = x + 60◦. Así, se cumple en criterio LAL. Por lo

tanto los lados correspondientes de los triángulos son iguales y BB0 = CC0.

4. Demostrar que la diagonal AC del paralelogramo ABCD divide a éste en dos triángulos congruentes.

Sol. Los lados del paralelogramo y la diagonal determinan paralelas cortadas por una transver- sal. De aquí los dos triángulos formados comparten dos lados iguales que son alternos internos. También comparten la diagonal del paralelogramo como uno de los lados lo cual es suficiente

para aplicar el criterio de congruencia ALA y por lo tanto los triángulos son congruentes.

5. Demostrar que si ABC es un triángulo isósceles con AB = CA y si A0 es el punto medio de BC, entonces los triángulos ABA0 y ACA0 son congruentes.

Sol. Se aplica directamente el criterio LLL pues AB = CA por hipótesis, BA0 = A0C por ser A0

punto medio de BC y ambos triángulos comparten el lado AA0.

6. Demostrar que las diagonales de un trapecio isósceles son iguales.

Sol. Usar criterio LLL pues un trapecio isósceles se define como un trapecio que tiene sus lados

no