Material de probabilidad y estadística.

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COMPLEMENTO

Dados dos conjuntos, el complemento de un conjunto A se forma con los elementos que pertenecen al Universo pero no a A. Este hecho se simboliza por Ac que se lee “A complemento”.

Ejemplo. Sean U ={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A ={ 1, 2, 3, 4, 5 } y B ={ 4, 5, 6, 8, 9 }, de acuerdo con la definición tenemos que: Ac = { 6, 7, 8, 9 } y Bc = { 1, 2, 3, 7 }.

Ejercicios.

- Sean U ={a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, }

A ={c, d, f, g, h, i, j }

B ={b, d, e, i, j, k}

Hallar:

Ac =

Bc =

- Sean U ={ 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

D ={2, 3, 5, 6, 7 }

E ={0, 3, 4, 7, 8, 9 }

Hallar:

Dc =

Ec =

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son esquemas que nos facilitan la organización y la interpretación de datos. Se forma con círculos y cuadrado o rectángulo.

Ejercicios.

- De acuerdo al diagrama, escribe los elementos que corresponden a cada operación:[pic 32]

[pic 33]

- De acuerdo al diagrama responde las siguientes cuestiones:

[pic 34][pic 35]

1.2 TECNICAS DE CONTEO.

FACTORIAL

Producto que resulta de multiplicar un número entero positivo dado por todos los enteros inferiores a él hasta el uno. Se simboliza por !.

Ejemplo:

- El factorial de 4 es 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24.

- El factorial de 8 es 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =

Efectúa las operaciones correctas para obtener el resultado de:

- [pic 36]

- [pic 37]

- [pic 38]

- [pic 39]

- [pic 40]

DIAGRAMAS DE ÁRBOL

ARBOL

Un árbol o diagramas secuencias está formado por puntos llamados vértices y flechas llamadas ramas.

Actividad. Señala cual es el punto de partida, y las generaciones del siguiente árbol.

[pic 41]

Ejercicios.

- El señor simón desea tomar una fotografía a sus tres hijos; María, William, Angel. ¿de cuántas maneras puede ordenarlos en una fila para poder tomarles la foto?

- ¿Cuantas y cuales son las formas de ordenar a las tres letras a, b, c?

- Se lanzan una moneda y un dado, uno después de otro. ¿que puede suceder?

- En un restaurante se ofrecen 3 entradas a, b, c; 3 comidas diferentes d, e, f ,g; y 2 postres p, g. si una persona decide comer en este restaurante, ¿de cuantas y cuales formas puede seleccionar su almuerzo completo?

- Se lanzan un dado y una moneda, uno después de otro, ¿Qué puede suceder?

- Una urna contiene dos bolas amarillas, tres negras y dos blancas. estas se sacan en sucesión hasta obtener una negra. ¿de cuantas formas es posible hacerlo?

- Una urna contiene dos bolas blancas, una azul y tres rojas. estas se sacan en sucesión hasta obtener una roja. ¿de cuantas formas es posible hacerlo?

PERMUTACIONES

PERMUTACION

Cada uno de los arreglos que pueden hacerse con una parte de los elementos o con todos los elementos de un conjunto, se llama permutación.

Cabe mencionar que el orden es una característica de especial importancia un una permutación. Cuando variamos el orden de los elementos de una permutación, se dice que permutamos dichos elementos.

Ejemplos:

- De cuantas formas podemos ordenar a 5 personas en una fila si contamos con 10.

- Considera 10 dígitos y 24 letras del alfabeto. ¿cuántas placas para auto podemos formar?

- En un lote de 12 libros hay 7 de matemáticas y 5 de física. Calcule de cuántas maneras distintas podemos ordenar 4 de ellos, si:

- El primero y el último deben ser de matemáticas.

- El primero y el cuarto deben ser de física.

- El primero y el cuarto deben ser de la misma asignatura.

- El primero debe ser de matemáticas y el segundo de física.

- El primero debe ser de física y el último de matemáticas.

- No hay condición.

- El primero de física o de matemáticas, el segundo de matemáticas y los dos demás de física.

- Considere los 7 dígitos: 1, 2, 3, 5, 7 , 8 y 9. ordenando a 3 de ellos sin repetición, se formará un número de tres cifras:

- Calcule el total de números posibles.

- Calcule cuántos números pares se pueden formar.

- Calcule cuántos números mayores que 500 se pueden formar.

Ejercicios.

- En un lote de 12 libros hay 7 de matemáticas y 5 de física. Calcule de cuántas maneras distintas podemos ordenar a 4 de ellos, si:

- El primero y el último deben ser de matemáticas.

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