Metodos Numericos Gauss Yordan sust hacia atras.
Enviado por Rebecca • 6 de Abril de 2018 • 1.112 Palabras (5 Páginas) • 516 Visitas
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[pic 36]
Hecho esto, podemos comenzar a hacer la sustitución hacía atrás. Esto se ilustrará mejor con un ejemplo.
Ejemplo 1
Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.
[pic 37]
Comenzamos haciendo la matriz aumentada del sistema:
[pic 38]
Tomamos el primer elemento y procedemos a convertirlo en 1[pic 39]
[pic 40]
[pic 41]
Ahora convertimos en ceros los elementos debajo de la diagonal principal.
[pic 42]
[pic 43]
[pic 44]
[pic 45]
Obtenemos:
[pic 46]
Seguimos convirtiendo en uno la diagonal principal, repitiendo el mismo procedimiento y obtenemos.
[pic 47]
[pic 48]
Ahora convertimos en cero los elementos debajo de la diagonal principal.[pic 49][pic 50][pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
Como podemos ver ahora sólo queda hacer la sustitución hacía atrás.
Reescribimos nuestro sistema de ecuaciones.
[pic 55]
Automáticamente tenemos ya el resultado de = 16[pic 56]
Ahora comienza la sustitución hacia atrás.
[pic 57]
[pic 58]
[pic 59]
[pic 60]
Ejemplo 2
A partir del análisis de un circuito se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.
[pic 61]
Comenzamos haciendo la matriz aumentada del sistema:
[pic 62]
Tomamos el primer elemento y procedemos a convertirlo en 1[pic 63]
[pic 64]
[pic 65]
Ahora convertimos en ceros los elementos debajo de la diagonal principal.
[pic 66]
[pic 67]
[pic 68]
[pic 69]
Obtenemos:
[pic 70]
Seguimos convirtiendo en uno la diagonal principal, repitiendo el mismo procedimiento y obtenemos.
[pic 71]
[pic 72]
Ahora convertimos en cero los elementos debajo de la diagonal principal.
[pic 73]
[pic 74]
[pic 75]
Continuamos con el mismo proceso de volver uno la diagonal principal
[pic 76]
[pic 77]
Reescribimos nuestro sistema de ecuaciones. [pic 78][pic 79]
[pic 80]
Automáticamente tenemos ya el resultado de = -2[pic 81]
Ahora comienza la sustitución hacia atrás.
[pic 82]
[pic 83]
[pic 84]
Programa eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás. (Matlab)
% Programa para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la técnica de
% eliminación gaussiana.
clear all
clc
% Introduciremos los valores del ejemplo 2. Matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales del Ejemplo 2 arriba.
A = [7 10 4 ; 5 -2 6 ; 3 1 -1 ];
% Vector de entradas del sistema de ecuaciones.
B = [-2; 38; 21];
% Número de incógnitas del sistema de ecuaciones.
N = rank(A);
% Proceso de eliminación gaussiana.
for k = 1:N-1
for m = k+1:N
MT = -A(m,k)/A(k,k); % Multiplicadores.
A(m,:) = A(m,:) + MT*A(k,:); % Modificación de la matriz A.
B(m) = B(m) + MT*B(k); % Modificación del vector B.
end
end
% Proceso de sustitución regresiva.
x(N) = B(N)/A(N,N);
for k = N-1:-1:1
ind = N - k;
x(k) = 0;
for m = 1:ind
x(k) = x(k) - A(k,k+m)*x(k+m);
end
x(k) = (B(k)+x(k))/A(k,k)
end
Para comprobar que el programa funciona correctamente introducimos
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