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Metodos Numericos Gauss Yordan sust hacia atras.

Enviado por   •  6 de Abril de 2018  •  1.112 Palabras (5 Páginas)  •  444 Visitas

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...

[pic 36]

Hecho esto, podemos comenzar a hacer la sustitución hacía atrás. Esto se ilustrará mejor con un ejemplo.

Ejemplo 1

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.

[pic 37]

Comenzamos haciendo la matriz aumentada del sistema:

[pic 38]

Tomamos el primer elemento y procedemos a convertirlo en 1[pic 39]

[pic 40]

[pic 41]

Ahora convertimos en ceros los elementos debajo de la diagonal principal.

[pic 42]

[pic 43]

[pic 44]

[pic 45]

Obtenemos:

[pic 46]

Seguimos convirtiendo en uno la diagonal principal, repitiendo el mismo procedimiento y obtenemos.

[pic 47]

[pic 48]

Ahora convertimos en cero los elementos debajo de la diagonal principal.[pic 49][pic 50][pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

[pic 54]

Como podemos ver ahora sólo queda hacer la sustitución hacía atrás.

Reescribimos nuestro sistema de ecuaciones.

[pic 55]

Automáticamente tenemos ya el resultado de = 16[pic 56]

Ahora comienza la sustitución hacia atrás.

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

[pic 60]

Ejemplo 2

A partir del análisis de un circuito se tiene el siguiente sistema de ecuaciones.

[pic 61]

Comenzamos haciendo la matriz aumentada del sistema:

[pic 62]

Tomamos el primer elemento y procedemos a convertirlo en 1[pic 63]

[pic 64]

[pic 65]

Ahora convertimos en ceros los elementos debajo de la diagonal principal.

[pic 66]

[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

Obtenemos:

[pic 70]

Seguimos convirtiendo en uno la diagonal principal, repitiendo el mismo procedimiento y obtenemos.

[pic 71]

[pic 72]

Ahora convertimos en cero los elementos debajo de la diagonal principal.

[pic 73]

[pic 74]

[pic 75]

Continuamos con el mismo proceso de volver uno la diagonal principal

[pic 76]

[pic 77]

Reescribimos nuestro sistema de ecuaciones. [pic 78][pic 79]

[pic 80]

Automáticamente tenemos ya el resultado de = -2[pic 81]

Ahora comienza la sustitución hacia atrás.

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

Programa eliminación gaussiana con sustitución hacia atrás. (Matlab)

% Programa para resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando la técnica de

% eliminación gaussiana.

clear all

clc

% Introduciremos los valores del ejemplo 2. Matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones lineales del Ejemplo 2 arriba.

A = [7 10 4 ; 5 -2 6 ; 3 1 -1 ];

% Vector de entradas del sistema de ecuaciones.

B = [-2; 38; 21];

% Número de incógnitas del sistema de ecuaciones.

N = rank(A);

% Proceso de eliminación gaussiana.

for k = 1:N-1

for m = k+1:N

MT = -A(m,k)/A(k,k); % Multiplicadores.

A(m,:) = A(m,:) + MT*A(k,:); % Modificación de la matriz A.

B(m) = B(m) + MT*B(k); % Modificación del vector B.

end

end

% Proceso de sustitución regresiva.

x(N) = B(N)/A(N,N);

for k = N-1:-1:1

ind = N - k;

x(k) = 0;

for m = 1:ind

x(k) = x(k) - A(k,k+m)*x(k+m);

end

x(k) = (B(k)+x(k))/A(k,k)

end

Para comprobar que el programa funciona correctamente introducimos

...

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