Modelado y Simulación de Sistemas Complejos
Enviado por Christopher • 17 de Octubre de 2017 • 1.925 Palabras (8 Páginas) • 586 Visitas
...
N
I = ,
eλt +λt)
λ
e−λt + Nce−( N
−λteλt +λt)]−1
S = Neλt − [e+ Nce−( N λ.
2. (Modelado). Hemos visto que el modelo de predador-presa de Lotka-Volterra asume que en ausencia de predadores, la poblaci—n de presas, denotada por H, crece exponencialmente, y a la vez, en ausencia de presas, los predadores mueren de hambre, y su poblaci—n, denotada por P decrece exponencialmente. Como resultado de la interacci—n entre las dos especies, H decrece y P crece en una raz—n proporcio nal a la frecuencia de encuentros predador-presa. Los carro–eros juegan un papel importante dentro de los ecosistemas, nosotros deberemos generalizar el modelo Lotka-Volterra e introduciremos una tercera especie: los carro–eros. Asumiremos que los carro–eros no tienen impacto sobre los predadores o sus presas, pero que esta especie, S , morir‡ exponencialmente en ausencia de cualquier otra especie y se beneficiar‡ directamente en proporci—n del nœmero de muertes de H y P que ocurran naturalmente, as’ como las causadas por la predaci—n de P sobre H.
a) Escriba las tres ecuaciones del modelo modificado de Lotka-Volterra en presencia de especies ca rro–eras. b) ÀTiene el sistema un punto de equilibrio con valores finitos no nulos de las poblaciones de preda dores, presas y carro–eros?
Solución.
a) El modelo original de Lotka-Volterra es
H ' = bH − sHP, P ' = −dP + esHP,
donde
b = Tasa de nacimiento. s = Eficiencia de bœsqueda. d = Tasa de muerte. e = Eficiencia de transformaci—n.
Como la poblaci—n de carro–eros desaparecer‡ en ausencia de otras especies, pero se beneficia directa mente del nœmero de muertes de H y P que ocurren naturalmente, as’ como de las que son resultado de predaci—n de P sobre H, tenemos que agregar al modelo la siguiente ecuaci—n
'
S = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 ,
donde
a = Tasa de muerte natural de los carro–eros. f = Beneficio para el carro–ero por comer de los cad‡veres de las presas que matan los predadores. g = Beneficio por comer presas que mueren naturalmente. h = Beneficio por comer predadores que mueren naturalmente.
---------------------------------------------------------------
kS 2 = Es una cota para el crecimiento de los carro–eros.
Luego el modelo modificado de Lotka-Volterra en presencia de carro–eros es
H ' = bH − sHP,
P ' = −dP + esHP, '
S = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 .
'
b) Si el sistema tiene algœn punto de equilibrio (He, Pe, Se), el sistema debe satisfacer H' = P' = S = 0 y(He, Pe, Se) debe ser soluci—n del sistema
0 = bH − sHP,
0 = −dP + esHP,
0 = −aS + f HPS + gS H + hS P − kS 2 .
y de aqui se obtienen f‡cilmente los valores de H, P y S
d
He = ,
es b
Pe = ,
s f db + gds + hbes − aes2
Se = .
kes2
Esta es la œnica soluci—n para valores de H, P y S no nulos.
3. (Analítico). Considere el modelo predador-presa definido por el siguiente sistema de dos ecuaciones de recurrencia
Hn+1 = aHn(1 − Hn) − bHnPn
Pn+1 = dHnPn
donde Hn y Pn son, respectivamente, las densidades de poblaci—n reducidas de presas y predadores y a, b y d son constantes positivas. Este modelo asume que el depredador puede sobrevivir solo en presencia de una presa. Encuentre los puntos de equilibrio y discuta su estabilidad.
Solución.
Considerando el sistema de la siguiente manera
H = aH(1 − H) − bHP P = dHP
---------------------------------------------------------------
a − 1
podemos ver que (0, 0) es una soluci—n, si hacemos P = 0 ⇒ H = , y si despejamos H de la
a 1 a 11
segunda ecuaci—n, obtenemos H = , P = 1 −− .
d bdb
Entonces los puntos de equilibrio son
(H1∗ , P∗ 1) = (0, 0) ,
a − 1
(H2∗ , P∗ 2) =, 0,
a
1 a 11
(H3∗ , P∗ 3) =, 1 −− .
dbdb
Para estudiar la estabilidad vemos el Jacobiano del sistema, evaluamos en cada punto de equilibrio y calculamos los autovalores.
Hacemos el Jacobiano del sistema de ecuaciones
a − 2aHn − bPn −bHn
Df (H∗) =,
dPn dHny obtenemos sus autovalores mediante det(Df (H∗) − λI) = 0, esto es
(a − 2aHn − bPn − λ)(dHn − λ) + bdHnPn = 0, λ2 + λ(2aHn − dHn − a + bPn − 2adH2) + adHn = 0.
n
...