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Modelo de Series de tiempo (Econometría)

Enviado por   •  29 de Octubre de 2018  •  1.774 Palabras (8 Páginas)  •  376 Visitas

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Antes de continuar, definiremos los operadores de retardo y diferenciación de una serie. Más precisamente, el operador de retardo B se define como

[pic 62]

es decir el resultado de aplicar el operador B resulta la observación del perioodo anterior, por lo tanto si aplicamos d veces el operador obtenemos [pic 63]

El operador diferencia de una serie se define como

[pic 64]

en general [pic 65]

Consideremos ahora, un proceso de la forma

[pic 66]

y su respectivo proceso de media cero [pic 67] donde las [pic 68] son variables aleatorias no correlacionadas de media 0, notemos que

[pic 69]

Si observamos las funciones de autocorrelación y autocovarianza, al solo depender estas de k (y no de t) y ser sumas infinitas, para poder afirmar que el proceso es realmente estacionario, es decir de covarianza estacionario, basta ver que [pic 70] es finito para cada k . Por lo tanto, como

[pic 71]

si [pic 72](y en consecuencia [pic 73]converge en el círculo unitario) es una condición suficiente para que el proceso sea estacionario.

Otra forma útil de escribir un proceso es a través de su representación autoregresiva

es decir

[pic 74]

o de manera equivalente

[pic 75]

donde [pic 76]

Un proceso se dirá invertible si puede ser representado de esta manera. Notemos que dado un proceso de la forma de [pic 77]será invertible si las raíces de [pic 78] se encuentran fuera del círculo unitario.

Para comprender esto consideremos un ejemplo particular, sea un proceso de la forma [pic 79] . Si expresamos a [pic 80]en función de los [pic 81] obtenemos que

[pic 82]

es decir

[pic 83]

Luego, si [pic 84] tendiendo k a infinito, obtenemos que

[pic 85]

que define un proceso estacionario. Además, [pic 86]. Luego, si [pic 87]tenemos que [pic 88] se agranda a medida que k se hace grande. Luego se pide [pic 89]para que la serie sea invertible y se satisfará si

[pic 90]

converge para todo [pic 91]es decir dentro del circulo unitario.

En general tendremos que un proceso será estacionario si [pic 92] converge dentro del círculo unitario y será invertible si [pic 93]converge dentro del círculo unitario.

Finalmente presentaremos el concepto de la función generatriz de autocovarianza que denominaremos [pic 94] En efecto, dada [pic 95] definiremos [pic 96] de la forma

[pic 97]

Utilizando [pic 98]y la condición de estacionariedad, reescribimos la función generatriz de autocovarianza del siguiente modo

[pic 99]

Este método ayuda a calcular de forma conveniente la autocovarianza de un proceso.

La correspondiente función generatriz de autocorrelación se define como

[pic 100]

Modelos MA

Los procesos de orden q de medias móviles, MA(q), se definen de la siguiente forma

[pic 101]

donde [pic 102] es un proceso de ruido blanco con las propiedades ya definidas.

Observemos que el proceso de medias móviles corresponde a una combinación lineal de variables ruido blanco, siendo los coeficientes [pic 103] los ponderadores de la combinación lineal. Su nombre proviene del hecho que las variables forman parte de este promedio, aunque los coeficientes no sumen uno, que varía a lo largo del tiempo. Los modelos de infinitos términos los denotaremos con [pic 104]

Como vimos anteriormente sus momentos pueden ser calculados fácilmente, resultando:

[pic 105]

Como su esperanza y su varianza son invariantes en el tiempo, este proceso será estacionario

si [pic 106]

Por una cuestión de mera conveniencia el proceso se escribirá con los coeficientes precedidos por el signo negativo. Además si usamos el operador de retardo un proceso [pic 107]puede definirse de la siguiente manera.

[pic 108]

donde [pic 109] El polinomio [pic 110] lo llamaremos polinomio de medias móviles.

Luego tenemos,

[pic 111]

y

[pic 112]

Observando [pic 113] notemos que la función [pic 114] es 0 después del paso q. Es decir, en general, un proceso [pic 115]tendrá una función de autocorrelación que se corta después del paso q.

Analicemos en profundidad un proceso MA(1). En efecto, sea el proceso de la forma

[pic 116]

Usando la función generatriz de autocovarianza, obtenemos para este caso la siguiente

expression

[pic 117]

Luego, la función de autocovarianza es la siguiente

[pic 118]

Una vez obtenida la función de autocovarianza podemos calcular la función de autocorrelación. En este caso es

[pic 119]

que se corta después de k=1. Notemos que el proceso es estacionario pues [pic 120]

Para que

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