Modelo de Series de tiempo (Econometría)
Enviado por Eric • 29 de Octubre de 2018 • 1.774 Palabras (8 Páginas) • 316 Visitas
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Antes de continuar, definiremos los operadores de retardo y diferenciación de una serie. Más precisamente, el operador de retardo B se define como
[pic 62]
es decir el resultado de aplicar el operador B resulta la observación del perioodo anterior, por lo tanto si aplicamos d veces el operador obtenemos [pic 63]
El operador diferencia de una serie se define como
[pic 64]
en general [pic 65]
Consideremos ahora, un proceso de la forma
[pic 66]
y su respectivo proceso de media cero [pic 67] donde las [pic 68] son variables aleatorias no correlacionadas de media 0, notemos que
[pic 69]
Si observamos las funciones de autocorrelación y autocovarianza, al solo depender estas de k (y no de t) y ser sumas infinitas, para poder afirmar que el proceso es realmente estacionario, es decir de covarianza estacionario, basta ver que [pic 70] es finito para cada k . Por lo tanto, como
[pic 71]
si [pic 72](y en consecuencia [pic 73]converge en el círculo unitario) es una condición suficiente para que el proceso sea estacionario.
Otra forma útil de escribir un proceso es a través de su representación autoregresiva
es decir
[pic 74]
o de manera equivalente
[pic 75]
donde [pic 76]
Un proceso se dirá invertible si puede ser representado de esta manera. Notemos que dado un proceso de la forma de [pic 77]será invertible si las raíces de [pic 78] se encuentran fuera del círculo unitario.
Para comprender esto consideremos un ejemplo particular, sea un proceso de la forma [pic 79] . Si expresamos a [pic 80]en función de los [pic 81] obtenemos que
[pic 82]
es decir
[pic 83]
Luego, si [pic 84] tendiendo k a infinito, obtenemos que
[pic 85]
que define un proceso estacionario. Además, [pic 86]. Luego, si [pic 87]tenemos que [pic 88] se agranda a medida que k se hace grande. Luego se pide [pic 89]para que la serie sea invertible y se satisfará si
[pic 90]
converge para todo [pic 91]es decir dentro del circulo unitario.
En general tendremos que un proceso será estacionario si [pic 92] converge dentro del círculo unitario y será invertible si [pic 93]converge dentro del círculo unitario.
Finalmente presentaremos el concepto de la función generatriz de autocovarianza que denominaremos [pic 94] En efecto, dada [pic 95] definiremos [pic 96] de la forma
[pic 97]
Utilizando [pic 98]y la condición de estacionariedad, reescribimos la función generatriz de autocovarianza del siguiente modo
[pic 99]
Este método ayuda a calcular de forma conveniente la autocovarianza de un proceso.
La correspondiente función generatriz de autocorrelación se define como
[pic 100]
Modelos MA
Los procesos de orden q de medias móviles, MA(q), se definen de la siguiente forma
[pic 101]
donde [pic 102] es un proceso de ruido blanco con las propiedades ya definidas.
Observemos que el proceso de medias móviles corresponde a una combinación lineal de variables ruido blanco, siendo los coeficientes [pic 103] los ponderadores de la combinación lineal. Su nombre proviene del hecho que las variables forman parte de este promedio, aunque los coeficientes no sumen uno, que varía a lo largo del tiempo. Los modelos de infinitos términos los denotaremos con [pic 104]
Como vimos anteriormente sus momentos pueden ser calculados fácilmente, resultando:
[pic 105]
Como su esperanza y su varianza son invariantes en el tiempo, este proceso será estacionario
si [pic 106]
Por una cuestión de mera conveniencia el proceso se escribirá con los coeficientes precedidos por el signo negativo. Además si usamos el operador de retardo un proceso [pic 107]puede definirse de la siguiente manera.
[pic 108]
donde [pic 109] El polinomio [pic 110] lo llamaremos polinomio de medias móviles.
Luego tenemos,
[pic 111]
y
[pic 112]
Observando [pic 113] notemos que la función [pic 114] es 0 después del paso q. Es decir, en general, un proceso [pic 115]tendrá una función de autocorrelación que se corta después del paso q.
Analicemos en profundidad un proceso MA(1). En efecto, sea el proceso de la forma
[pic 116]
Usando la función generatriz de autocovarianza, obtenemos para este caso la siguiente
expression
[pic 117]
Luego, la función de autocovarianza es la siguiente
[pic 118]
Una vez obtenida la función de autocovarianza podemos calcular la función de autocorrelación. En este caso es
[pic 119]
que se corta después de k=1. Notemos que el proceso es estacionario pues [pic 120]
Para que
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