PROBLEMAS DE CADENAS DE MARKOV

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7) La matriz de transición P de una cadena de Markov está dada por:

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Hallar los valores de a, b y c tales que comenzando desde el estado 2, el número de pasos hacia la absorción sea siete cuartos y la proporción de ser absorbido en el estado 1 sea el triple de la proporción de ser absorbido en el estado 3.

8) Una tienda local de artesanía que vende tapices a los turistas puede producir un tapiz al día. El artesano nunca produce un tapiz que sea idéntico a alguno que todavía permanezca sin venderse en la tienda. Por esta razón, la variedad de tapices aumenta de acuerdo con el número de tapices no vendidos y la selección también aumenta las posibilidades de venderlos.

La experiencia anterior muestra que si sólo se dispone de un tapiz, las probabilidades son de 3/4 de que se venda. Si están disponibles dos tapices, la oportunidades son de 3/4 de que al menos uno se venda y de 1/2 de que ambos se vendan. Para tres tapices, las probabilidades son de 3/5 de que al menos uno se venda, de 3/5 de que al menos dos se vendan y de 2/5 de que se vendan los tres. Si al principio del día quedan tres tapices sin venderse, el artesano toma el día libre, esto es, no fabrica un tapiz ese día, sino que sólo trata de venderlos.

a) Defínanse los estados de este proceso y determine la matriz de transición.

b) Si el artesano tiene al comenzar el día tres tapices ¿Cuál es el valor esperado de días en llegar a tener por primera vez dos tapices?

c) ¿Cuál es la fracción de días que el artesano no se dedica a la producción?

9) En dos urnas están colocadas 3 esferas negras y 3 esferas blancas de modo que cada urna contenga 3 esfera. Designemos con X(t) la cantidad de esferas negras en la primera urna en el instante t= 0,1,2,.... En cada instante de tiempo de número entero se escoge al azar una esfera de cada urna se cambian de lugar.

a) Mostrar que X(t) es una cadena de Markov y hallar la matriz de transición.

b) Hallar los estados estacionarios.

10) Se efectúa una encuesta de mercadeo de tres marcas de alimentos para el desayuno: X, Y y Z. Cada vez que el cliente compra un nuevo paquete puede comprar de la misma marca o cambiarse a otra.

Se han obtenido los siguientes datos estimados.

- Los clientes de X, el 70% vuelven a comprar X y el resto de distribuyen en un 60% para Y y un 40% para Z.

- Los clientes de Y, el 50% vuelven a comprar Y y el resto se distribuyen en un 60% para X y un 40% para Z.

- Los clientes de Z, el 40% vuelven a comprar Z y el resto se distribuyen en partes iguales.

Se estima en este momento que el 30% de los clientes compran la marca X, el 20% la marca Y y el resto la marca Z.

a) ¿Cuál será la distribución de clientes tres compras después?

b) La marca X, desea agregar un 15% de lecitina de Soya a su producto y desea saber si se lanza el nuevo producto cuando el mercado se estabilice o antes; La marca X aspira siempre contar con más del 48% de los clientes.

c) En promedio ¿Cuánto tiempo tarda un cliente que hoy consume Z, en volver a comprar Z?

11) Una tienda de Auto-periquitos que instala papel ahumado para vehículos, solo tiene un empleado para esa labor y dos puestos para espera solamente de vehículos para instalar el papel. El proceso de instalación requiere exactamente de dos horas. el dueño, está interesado en conocer la probabilidad de que un cliente recién llegado no encuentre puesto para esperar. El dueño ha determinado que la distribución de probabilidad para los clientes que llegan durante el intervalo de servicio de dos hora es el siguiente:

Número de llegadas 0 1 2 3 ó más

Probabilidad 0,3 0,4 0,2 0,1

Suponga que los nuevos clientes no llegan exactamente en el mismo instante en el que parten los clientes que ya fueron atendidos.

a) Elabore la matriz de transición de este proceso. (Sugerencia: si no hay clientes esperando, la instalación de papel no comienza sino hasta que llega un cliente. De otra manera, la instalación empieza de inmediato) Considere el número de clientes que esperan durante la sesión anterior de instalación como estado inicial y el número de clientes que se encuentran durante la sesión actual de instalación como estado final.

b) Hallar el vector de probabilidades de estados estacionario.

12) El proceso de producción para la fabricación del producto A, consiste en dos etapas colocadas en paralelo. El producto A tiene un desempeño satisfactorio si una de las dos etapas está en operación. Una etapa tiene una probabilidad p de descomponerse en un periodo dado y supóngase que la etapa se descompone sólo al final del período. Cuando esto ocurre, la etapa en paralelo opera, si esta disponible al comenzar el siguiente período. Solo se cuenta con una persona que da servicio a las etapas descompuestas y toma dos períodos arreglarlas.

Sea X, un vector de dos componentes M y N, donde M representa el número de etapas que operan hasta el final del período y N vale 1 si la persona requiere solo un periodo más para completar la reparación, si lo esta haciendo, y vale cero en cualquier otro caso.

a) Hallar la matriz de transición

b) Si el producto A está el estado X=(2,0). ¿Cuál es el mayor valor de p para que el valor esperado de periodo en llegar por primera vez al estado X=(1,1) sea cinco?

13) El proceso de producción para la fabricación del producto A, consiste en dos etapas colocadas en paralelo. El producto A tiene un desempeño satisfactorio si una de las dos etapas está en operación. Una etapa tiene una probabilidad q de descomponerse en un periodo dado y supóngase que la etapa se descompone sólo al final del período. Cuando esto ocurre, la etapa en paralelo opera, si esta disponible al comenzar el siguiente período. Solo se cuenta con una persona que da servicio a las etapas descompuestas y toma dos períodos arreglarlas.

Sea X, un vector de dos componentes M y N, donde M representa el número de etapas que operan hasta el