Teoria de Cadenas de Markov

...

[pic 34]

Por ejemplo

[pic 35]

Esto significa que si cambiamos del estado C al estado B en 2 pasos la probabilidad es de ½.

[pic 36]

Esto significa que si cambia del estado C al estado B en 4 pasos la probabilidad es de 5/8 o sea [pic 37] o sea tenemos que:

[pic 38][pic 39]

[pic 40] [pic 41]

Ejemplo R2: ahora vamos a suponer que el ing.de la Rosa el primer día toma una moneda y la lanza para ver en que se va, si sale aguila se va en camión y si sale sol se va en bicicleta o sea

[pic 42] entonces por [pic 43] tenemos que [pic 44]

[pic 45]

La distribución de probabilidades pues de 4 días será [pic 46]

Ejemplo R3: supongamos ahora que el primer día de trabajo (ver el problema anterior)

El ing.de la Rosa lanza un dado corriente y va en bicicleta si y solo si sale un 3 o sea

[pic 47]

[pic 48]

b) Formulación de las cadenas de Markov.

Una cadena de Markov es una secuencia de intentos de un experimento según los valores aleatorios de la variable dentro del tiempo.

Se puede decir que la teoría de procesos estocásticos se define como la parte dinámica de la teoría de las probabilidades, en la que se estudia un conjunto de variables aleatorias, desde el punto de vista de su interdependencia y comportamiento limite.

Los procesos estocásticos se pueden clasificar:

Calor de Tiempo[pic 49]

Las variables T

Casuales

Discreto

Continuo

Discretas

Cadena de

Markov/Discreta

Proceso de Markov c/parámetro continuo

Continuas

Cadena de Markov

De parámetro continuo

Proceso de Markov c/ parámetro continuo

Donde S es el conjunto de valores Estado que se puede tomar de Xt y T es el conjunto de valores en los que observamos a Xt.

La probabilidad de un problema a estudiar como una condición particular según la condición actual. Esto implica que el n-esimo resultado depende de (n-1) intento.

La probabilidad de pasar del estado Ei al estado Ej ( en cada suceso individual) es n intentos sucesivos del experimento permanece constante

Cada suceso individual se denomina un Estado, en un problema se tendrán tantos estados como sucesos posibles, la notación Si significa el i-esimo estado de un total de m estados posible es donde 2≤m≤∞

Proceso estocástico.-Es una colección ordenada de variables casuales, donde:

- La variable casual Xt puede tomar un número finito y contable de valores.

Xt=[Xo,X1,….Xn] donde Xt pertenece a un conjunto T.

- Se satisface la propiedad Markoviana

P{Xn+1=j/X0=i0, X1=i1,….,Xn-1=in-1,Xn=i}

P{Xn+1=J/Xn=i}=Pij

Si la distribución de probabilidad………

Cada vez que se produce un nuevo resultado o suceso se dice que el proceso sea avanzado o que se ha incrementado en un paso. Esto puede repetirse tantas veces como se desee.

Un paso puede representar un periodo de tiempo o cualquier otra condición que pueda representar un periodo de tiempo o cualquier otra condición que pueda conducir a otro suceso posible.

El símbolo n se utiliza para indicar el número de pasos o incrementos.

Por tanto n=0 representa el presente; n=1representa el suceso posible en la siguiente ocasión y n=2 representa el suceso en una ocasión después de la siguiente.

Por ejemplo: Un supermercado (Supermix) de una comunidad pequeña tiene el 40% del mercado total.

Su único competidor tiene el 60% de tal mercado. Supermix contrato una empresa publicitaria con el objeto de aumentar su competitividad. Durante la campaña publicitaria los datos de ventas mensuales fueron:

- El 90% de los clientes del super regresando al mes siguiente=Prob(S/S)=0.90

- Mientras que el 20% de los clientes de la competencia se cambian a supermix el mes siguiente=Prob(S/C)=0.2

Prob(supermix)=P(S)=0.4

Prob(competencia)=P(C)=0.6

Prob(S/S)=0.90

P(S)=0.4 [pic 50][pic 51]

Prob(C/S)=0.1[pic 52]

Prob(S/C)=0.2.[pic 53]

P(C)=0.6 Prob(C/C)=0.8

- ¿Cuál es el porcentaje de clientes que usa el servicio (S)=?

Prob(S)=Prob(S/S)Prob(S)+Prob S/C)Prob(C)

=(0.9)(0.4)+(0.2)(o.6)=0.36+0.12=0.48=P(S)

- Hallar la probabilidad (C)=?

Prob(C)=P(C/S)Prob(S)+P(C/C)Prob(C)

=0.1(0.4)+0.8(0.6)=0.04+0.48=0.52=Prob(C)

O tal vez hacer Prob(Co)=1-P(S)=(1-0.48)=0.52

Otra forma de resolverlo es por medio de la matriz de Transición:

T= [pic 54]

Si p1=p0 T=(0.4 , 0.6) =(0.48,