Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y Teoremas que a continuación se enumeran.

...

[pic 33]

Una ley de probabilidad es creciente por inclusión, según A1 y A3: si [pic 34], entonces [pic 35].

Las leyes de probabilidad que se emplean en la práctica son de dos tipos particulares, las leyes discretas y las leyes continuas.

1. Leyes discretas

El conjunto de las eventualidades [pic 36] es finito o numerable:

[pic 37]

Todas las partes de [pic 38] son eventos. Como todo evento es una reunión finita o numerable de eventos individuales o aislados (singleton), es suficiente definir la probabilidad de cada singleton:

[pic 39]

Para todo [pic 40], la probabilidad de [pic 41] será entonces determinada por A3:

[pic 42]

Ejemplo: Si el conjunto de los resultados es finito [pic 43] y si no hay información que nos permita diferenciar unos resultados de otros, es natural asociar a cada eventualidad la probabilidad [pic 44]. La probabilidad de todo evento [pic 45] es entonces Card[pic 46].

Esta probabilidad particular se llama la equiprobabilidad. En este caso todos los cálculos se convierten en contar:

probabilidad[pic 47]

2. Leyes continuas

El conjunto de las eventualidades [pic 48] es [pic 49]. Los eventos son los intervalos, y todos los subconjuntos de [pic 50] que se pueden formar combinando intersecciones y uniones de intervalos. En la teoría de la medida se les llama conjuntos borelianos.

Definición 1.1 Llamamos densidad de probabilidad a una función de [pic 51] en [pic 52], continua por pedazos y de integral igual a [pic 53].

[pic 54] y[pic 55]

Dada una densidad de probabilidad, se define una ley de probabilidad sobre [pic 56], asociando a todo evento [pic 57] el valor de la integral de la densidad sobre este evento:

[pic 58]

Ejemplo: Para el experimento aleatorio que consiste en sacar al azar un número real en el intervalo [pic 59] (llamar a Random ), consideraremos sobre[pic 60] la ley de probabilidad continua de densidad:

[pic 61]

Ella asigna a todo intervalo contenido en [pic 62] una probabilidad igual a su longitud.

Como sucede en el ejemplo anterior, es frecuente que una densidad sea estrictamente positiva sobre un intervalo (eventualmente no acotado) de [pic 63], y nula fuera. El intervalo en el cual [pic 64] es estrictamente positiva se llama el soporte de la ley.

Podemos ver una probabilidad como una distribución de masa en el conjunto de las eventualidades. La masa total vale [pic 65]. En el caso discreto, ella se encuentra repartida en cada eventualidad como en ``granos de plomo'' separados. En el caso continuo, ella está repartida sobre todo un intervalo de [pic 66], que es como un hilo de masa [pic 67] en el cual la densidad de la masa es variable. Calcular la probabilidad de un evento es calcular su masa. Aparte de esta analogía, ¿qué sentido práctico tiene la noción de probabilidad? ¿Podemos medir físicamente probabilidades?

El único sentido concreto que les podemos dar es, intuitivamente, el de la Ley de los Grandes Números. ``Cara tiene una posibilidad sobre dos de suceder'' significa para nosotros que ``si lanzo la moneda una gran cantidad de veces, Cara saldrá alrededor de una vez de cada dos.''

Intuición: La probabilidad de un evento es el límite de sus frecuencias experimentales en un gran número de experimentos independientes.

Esta idea intuitiva conlleva varios puntos oscuros. Que las frecuencias experimentales convergen bajo ciertas hipótesis es un teorema (este teorema es el que lleva el nombre de Ley de los Grandes Números). ¿Por qué añadir el adjetivo ``independientes''?

Imaginemos una máquina de precisión para lanzar monedas: un brazo articulado dotado de un plato, unido a un muelle regulable, ajustado a un valor fijo. Pongamos el muelle en tensión y depositemos una moneda en el plato, con la Cara hacia arriba y soltemos el muelle. La primera vez no podremos prever si la moneda caerá de Cara o Cruz, pero la información que obtenemos en el resultado del primer ensayo permitirá predecir los siguientes: los experimentos no son independientes. Las frecuencias experimentales valdrán [pic 68] ó 0 pero no brindarán ninguna información sobre si la moneda está adulterada o no.

El objetivo principal del próximo parrafo es precisar las nociones de dependencia e independenciaide eventos y de experimentos aleatorios.

Eventos Aleatorios y Espacio Muestral

La probabilidad es la ciencia que trata de cuantificar los posibles resultados de un experimento en el cual está presente la incertidumbre o la aleatoriedad. La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, la ciencia y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la mecánica subyacente de sistemas complejos.

Un experimento es un proceso que se observa con el fin de establecer una relación entre condiciones en que se realizan y los resultados que se obtienen. Se clasifican en:

[pic 69]

Un experimento determinístico es aquel que al ser realizado con las mismas condiciones iniciales produce los mismos resultados.

Ejemplo: Una operación de adición.

[pic 70]

Un experimento aleatorio es aquel que puede producir resultados diferentes, aun cuando se repita siempre de la misma manera.

Ejemplo: El lanzamiento de un dado.

[pic 71]

Ejemplo: El lanzamiento de una moneda.

[pic 72]

Espacio muestral

se le llama espacio muestral al conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.