Para evaluar la integral trigonométrica que contienen senos y cosenos.

...

Simplifiquemos paso a paso el término de la raíz, en primer lugar sacaremos a factor común, y operaremos para poder dejarlo como suma de cuadrados.

De esta forma estaremos en tres situaciones posibles:

- [pic 65] Λ [pic 66] es decir: [pic 67]

- [pic 68] Λ [pic 69] es decir: [pic 70]

- [pic 71] Λ [pic 72] es decir: [pic 73]

teniendo la forma las ecuaciones conocidas: con

[pic 74]

Estos los cambios que hay que realizar según la situación:

- [pic 75]

- [pic 76]

- [pic 77]

La integral de esta forma, se transforma en una integral trigonométrica en t, se resuelve y se deshace el cambio.

DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES

- Raíces reales simples (Factores lineales distintos).

Sea una función racional (cociente de polinomios) de la forma

Si Q(x)=0 sólo admite raíces reales simples, podemos entonces descomponer,siendo x1,x2,...,xn números reales distintos y an coeficiente que acompaña a la variable elevada a la mayor potencia en Q(x).

Ejemplo:

Sumamos las fracciones e igualamos los numeradores:

Como es una identidad, se ha de cumplir para todo valor de x:

Ejemplo:

i). Hallamos las raíces del polinomio del denominador:

x =2, x = 3

ii). Factorizamos el denominador

iii). Descomponemos:

operando:

Para hallar A y B tenemos dos opciones:

·resolvemos el siguiente sistema

1=(A+B) x - 3 A-2 B

Con lo cual:

·O bien Igualamos numeradores y sustituimos x, en los dos miembros, por los valores 2 y 3 (los ceros del denominador)

iv). Comprobamos el resultado.

- Raíces reales múltiples. (Factores lineales repetidos).

Consideramos de nuevo una función racional de la forma

Si Q(x)=0 admite raíces reales múltiples, en su descomposición factorial aparecerán factores de la forma an(x-r)n , con lo cuál tendremos:

siendo F(x)=R(x)/an

Supongamos que el grado de F(x) es m, con m

Si desarrollamos F(x) por la fórmula de Taylor en el punto r, queda:

Dividiendo por (x-r)n

Ejemplo:

i). Las raíces del denominador son x = 0, -1, -1

[pic 78]

[pic 79]

Sustituimos:

[pic 80]

- Raíces complejas simples.

Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:

[pic 81]

grado de R(x)

Si Q(x)=0 admite raíces imaginarias (simples), tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , la otra será a-bj (Se denominan raíces complejas conjugadas), y los factores de la descomposición factorial serán de la forma: [pic 82]

Así pues, en la descomposición en fracciones simples, sustituiremos las fracciones

[pic 83]

Por [pic 84]

Ejemplo 3. Factores cuadráticos distintos.

i). Las raíces del denominador son: x = 0, 1 y dos raíces complejas

ii). [pic 85]

iii). [pic 86]

Procediendo como antes:

[pic 87]

[pic 88]

[pic 89]

- Raíces complejas múltiples.

Como hemos considerado con anterioridad, sea una función racional de la forma:

[pic 90]

grado de R(x)

Si Q(x)=0 admite raíces complejas múltiples, tendremos en este caso que si una de las raíces es a+bj , con multiplicidad p, la otra será a-bj también con multiplicidad p. Es decir, como las raíces imaginarias aparecen en parejas conjugadas, en la descomposición factorial del polinomio habrá un término de la forma (x2+ax+b)n siendo n el orden de multiplicidad. Por cada factor de esta clase pondremos n sumandos de la forma

[pic 91]

De esta forma:

[pic